Jaki jest współczynnik przy \(\displaystyle{ x ^{12}y ^{13}}\) w rozwinięciu:
\(\displaystyle{ (x+y) ^{25}}\)
Mógłby ktoś powiedzieć jak rozwiązuje się zadania tego typu pierwszy raz mam z nimi styczność.
Znaleźć współczynnik w rozwinięciu
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Znaleźć współczynnik w rozwinięciu
\(\displaystyle{ x ^{12}y ^{13}}\)
\(\displaystyle{ (x+y) ^{25}}\)
Dwumian Newtona
\(\displaystyle{ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (a^{n-k}\cdot\ b^k)}\)
U nas \(\displaystyle{ a=x,b=y,n=25}\)
\(\displaystyle{ (x+y)^{25}=\sum_{k=0}^{25} {25 \choose k} (x^{25-k}\cdot\ y^k)}\)
Ponieważ interesuje nas współczynnik przy \(\displaystyle{ x ^{12}y ^{13}}\) , więc
\(\displaystyle{ (x^{25-k}\cdot\ y^k)=x ^{12}y ^{13}}\)
stąd
\(\displaystyle{ k=13}\)
czyli
\(\displaystyle{ {25 \choose k}={25 \choose 13}=5200300}\)
zatem współczynnik przy \(\displaystyle{ x ^{12}y ^{13}}\) jest równy \(\displaystyle{ 5200300}\)
\(\displaystyle{ (x+y) ^{25}}\)
Dwumian Newtona
\(\displaystyle{ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (a^{n-k}\cdot\ b^k)}\)
U nas \(\displaystyle{ a=x,b=y,n=25}\)
\(\displaystyle{ (x+y)^{25}=\sum_{k=0}^{25} {25 \choose k} (x^{25-k}\cdot\ y^k)}\)
Ponieważ interesuje nas współczynnik przy \(\displaystyle{ x ^{12}y ^{13}}\) , więc
\(\displaystyle{ (x^{25-k}\cdot\ y^k)=x ^{12}y ^{13}}\)
stąd
\(\displaystyle{ k=13}\)
czyli
\(\displaystyle{ {25 \choose k}={25 \choose 13}=5200300}\)
zatem współczynnik przy \(\displaystyle{ x ^{12}y ^{13}}\) jest równy \(\displaystyle{ 5200300}\)
Znaleźć współczynnik w rozwinięciu
Mam problem z zadaniem następującej treści:
Podaj współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ y^fry^\frac{4}{3} 3} }\) w rozwinieciu dwumianowym wyrazenia \(\displaystyle{ ( sq( \sqrt{y} + \frac{1}{ \sqrt[3]{y} })^11^11}\)
Podaj współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ y^fry^\frac{4}{3} 3} }\) w rozwinieciu dwumianowym wyrazenia \(\displaystyle{ ( sq( \sqrt{y} + \frac{1}{ \sqrt[3]{y} })^11^11}\)
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Znaleźć współczynnik w rozwinięciu
\(\displaystyle{ y^\frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ ( \sqrt{y} + \frac{1}{ \sqrt[3]{y} })^{11}=( y^{ \frac{1}{2} } + y^{- \frac{1}{3} })^{11}}\)
\(\displaystyle{ (x+y) ^{25}}\)
Dwumian Newtona
\(\displaystyle{ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (a^{n-k}\cdot\ b^k)}\)
U nas \(\displaystyle{ a=y^{ \frac{1}{2} } ,b=y^{- \frac{1}{3} } ,n=11}\)
\(\displaystyle{ (y^{ \frac{1}{2} }+y^{- \frac{1}{3} })^{11}=\sum_{k=0}^{11} {11 \choose k} ((y^{ \frac{1}{2} })^{11-k}\cdot\ (y^{- \frac{1}{3} })^k)}\)
Ponieważ interesuje nas współczynnik przy \(\displaystyle{ y^\frac{4}{3}}\) , więc
\(\displaystyle{ (y^{ \frac{1}{2} })^{11-k}\cdot\ (y^{- \frac{1}{3} })^k=y^\frac{4}{3}}\)
stąd
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot (11-k)- \frac{1}{3} \cdot k =\frac{4}{3}}\)
czyli
\(\displaystyle{ k=5}\)
\(\displaystyle{ {11 \choose k}={11 \choose 5}=462}\)
zatem współczynnik przy \(\displaystyle{ y^\frac{4}{3}}\) jest równy \(\displaystyle{ 462}\)
\(\displaystyle{ ( \sqrt{y} + \frac{1}{ \sqrt[3]{y} })^{11}=( y^{ \frac{1}{2} } + y^{- \frac{1}{3} })^{11}}\)
\(\displaystyle{ (x+y) ^{25}}\)
Dwumian Newtona
\(\displaystyle{ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (a^{n-k}\cdot\ b^k)}\)
U nas \(\displaystyle{ a=y^{ \frac{1}{2} } ,b=y^{- \frac{1}{3} } ,n=11}\)
\(\displaystyle{ (y^{ \frac{1}{2} }+y^{- \frac{1}{3} })^{11}=\sum_{k=0}^{11} {11 \choose k} ((y^{ \frac{1}{2} })^{11-k}\cdot\ (y^{- \frac{1}{3} })^k)}\)
Ponieważ interesuje nas współczynnik przy \(\displaystyle{ y^\frac{4}{3}}\) , więc
\(\displaystyle{ (y^{ \frac{1}{2} })^{11-k}\cdot\ (y^{- \frac{1}{3} })^k=y^\frac{4}{3}}\)
stąd
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot (11-k)- \frac{1}{3} \cdot k =\frac{4}{3}}\)
czyli
\(\displaystyle{ k=5}\)
\(\displaystyle{ {11 \choose k}={11 \choose 5}=462}\)
zatem współczynnik przy \(\displaystyle{ y^\frac{4}{3}}\) jest równy \(\displaystyle{ 462}\)