Proszę o rozwiązanie zadania. Podane odpowiedzi to: a) 250 000; b) 25 000 000.
Ile wyrazów można ułożyć z 25 liter, zakładając, że spółgłoski i samogłoski występują na przemian, jeżeli wyrazy mają się składać z:
a) 5 liter; b) 7 liter?
Proszę gdyż nie rozumiem logiki rozwiązania tego zadania.
Zbiór wszystkich liter A={A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, W, X, Y, Z} moc A = 25
Moc SAMOGŁOSKI = 6
Moc SPÓŁGŁOSKI = 19
Czyli np a)
X-spółgłoska, Y- samogłoska
5 liter: XYXYX
czyli 3 spółgłoski z 19 i 2 samogłoski z 6
Korzystając z wariacja z powtórzeniami:
\(\displaystyle{ n^{k} = 19^3 = 6859}\)
i
\(\displaystyle{ n^{k} = 6^2 = 36}\)
Wynik :
\(\displaystyle{ 6859*36 = 246924}\)
Gdzie robię błąd?
Może polecicie jakąś dobrą książkę/stronę z przykładami z zadań z kombinatoryki (wariacja, permutacja, kombinacja)?
Z góry dzięki za odpowiedź i miłego dnia
Wariacja z powtórzeniami
-
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
Wariacja z powtórzeniami
Jak na mnie samogłosek jest 5:
Czyli:
\(\displaystyle{ 20^3 \cdot 5^2=8000 \cdot 25=200000}\)
Możemy jeszcze zacząć od samogłosek:
\(\displaystyle{ 20^2 \cdot 5^3=400 \cdot 125=50000}\)
Co nam daje w sumie:
\(\displaystyle{ 200000+50000=250000}\)-- 2 lis 2011, o 14:35 --b)
\(\displaystyle{ 20^4 \cdot 5^3+20^3 \cdot 5^4=160000 \cdot 125+8000 \cdot 625=20000000+5000000=25000000}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ 20^3 \cdot 5^2=8000 \cdot 25=200000}\)
Możemy jeszcze zacząć od samogłosek:
\(\displaystyle{ 20^2 \cdot 5^3=400 \cdot 125=50000}\)
Co nam daje w sumie:
\(\displaystyle{ 200000+50000=250000}\)-- 2 lis 2011, o 14:35 --b)
\(\displaystyle{ 20^4 \cdot 5^3+20^3 \cdot 5^4=160000 \cdot 125+8000 \cdot 625=20000000+5000000=25000000}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 25 paź 2011, o 20:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Wariacja z powtórzeniami
Co do samogłosek: {A, E, I, O, U, Y} = 6.
Więc błąd w podanej do zadania odpowiedzi.
Bo przy twoich obliczeniach:
a) \(\displaystyle{ 19^3 * 6^2 + 19^2*6^3 = 246924 + 77976 = 324900}\)
Dzięki za pomoc
-- 2 lis 2011, o 16:40 --
Zad.2
Na ile sposobów można rozdzielić 15 batonów pomiędzy 5 pracowników (takich samych batonów)?
a) nie ma ograniczeń do przydziału (może każdy może otrzymać od 0 do 15 batonów)
b) nie ma ograniczeń do przydziału (- || - od 1 do 15)
c) każdy pracownik co najmniej 2 batony?
a) Kombinacja bez powtórzeń.
\(\displaystyle{ n = 16}\) i \(\displaystyle{ k = 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{16!}{(16-5)! * 5!} = \frac{16!}{11! * 5!} = 4368}\)
b) Kombinacja bez powtórzeń.
\(\displaystyle{ n = 15}\) i \(\displaystyle{ k = 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{15!}{(15-5)! * 5!} = \frac{15!}{10! * 5!} = 3003}\)
c) Kombinacja bez powtórzeń.
\(\displaystyle{ n = 5}\) (bo 15 - 10 (liczba batonów przydzielona z góry) = 5 i \(\displaystyle{ k = 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{5!}{(5-5)! * 5!} = \frac{5!}{0! * 5!} = 1}\)
Dobrze myślę? Czy może kombinacja z powtórzeniami (jeśli tak to dlaczego)?
Zad.3
Wyznacz liczbę całkowitych liczbowo rozwiązań równania gdzie:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 36}\)
a)\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \ge 0}\)
b)\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 > 0}\)
c)\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \ge -2}\)
Nie bierzemy pod uwagę wszystkich elementów ze zbioru, nie ważna jest kolejność ({\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = x_1 + x_3 + x_2 + x_4}\), losujemy wartosc pod np \(\displaystyle{ x_1}\) i zwracamy a więc kombinacja z powtórzeniami.
a) n = 36 k = 4
\(\displaystyle{ \frac{(36+4-1)!}{4!(36-1)!} = \frac{39!}{4!35!}}\)
b) n = 32 k = 4
\(\displaystyle{ \frac{(32+4-1)!}{4!(32-1)!} = \frac{35!}{4!33!}}\)
c) n = 44 k = 4
\(\displaystyle{ \frac{(44+4-1)!}{4!(44-1)!} = \frac{47!}{4!43!}}\)
Wszystko ok? Co bierzemy za n a co za k?
Więc błąd w podanej do zadania odpowiedzi.
Bo przy twoich obliczeniach:
a) \(\displaystyle{ 19^3 * 6^2 + 19^2*6^3 = 246924 + 77976 = 324900}\)
Dzięki za pomoc
-- 2 lis 2011, o 16:40 --
Zad.2
Na ile sposobów można rozdzielić 15 batonów pomiędzy 5 pracowników (takich samych batonów)?
a) nie ma ograniczeń do przydziału (może każdy może otrzymać od 0 do 15 batonów)
b) nie ma ograniczeń do przydziału (- || - od 1 do 15)
c) każdy pracownik co najmniej 2 batony?
a) Kombinacja bez powtórzeń.
\(\displaystyle{ n = 16}\) i \(\displaystyle{ k = 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{16!}{(16-5)! * 5!} = \frac{16!}{11! * 5!} = 4368}\)
b) Kombinacja bez powtórzeń.
\(\displaystyle{ n = 15}\) i \(\displaystyle{ k = 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{15!}{(15-5)! * 5!} = \frac{15!}{10! * 5!} = 3003}\)
c) Kombinacja bez powtórzeń.
\(\displaystyle{ n = 5}\) (bo 15 - 10 (liczba batonów przydzielona z góry) = 5 i \(\displaystyle{ k = 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{5!}{(5-5)! * 5!} = \frac{5!}{0! * 5!} = 1}\)
Dobrze myślę? Czy może kombinacja z powtórzeniami (jeśli tak to dlaczego)?
Zad.3
Wyznacz liczbę całkowitych liczbowo rozwiązań równania gdzie:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 36}\)
a)\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \ge 0}\)
b)\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 > 0}\)
c)\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \ge -2}\)
Nie bierzemy pod uwagę wszystkich elementów ze zbioru, nie ważna jest kolejność ({\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = x_1 + x_3 + x_2 + x_4}\), losujemy wartosc pod np \(\displaystyle{ x_1}\) i zwracamy a więc kombinacja z powtórzeniami.
a) n = 36 k = 4
\(\displaystyle{ \frac{(36+4-1)!}{4!(36-1)!} = \frac{39!}{4!35!}}\)
b) n = 32 k = 4
\(\displaystyle{ \frac{(32+4-1)!}{4!(32-1)!} = \frac{35!}{4!33!}}\)
c) n = 44 k = 4
\(\displaystyle{ \frac{(44+4-1)!}{4!(44-1)!} = \frac{47!}{4!43!}}\)
Wszystko ok? Co bierzemy za n a co za k?