Urna i kule

[august6]

Do n roznych urn wrzucamy losowo k roznych kulek. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze
w kazdej urnie bedzie nie wiecej niz jedna kulka ?



|\(\displaystyle{ \Omega}\)|= \(\displaystyle{ k^{n}}\)

weźmy zdarzenie przeciwne A' do A

i teraz czy |A|' mogę rozumieć przez \(\displaystyle{ n \cdot k \cdot (k-2) ^{n-1}}\)? n-na n sposobów wybieramy urne w której są dwie kulki i dajemy tam k sposobow wyboru tych kulek a na reszte n-1 urn przypada k-2 kulek

[mat_61]

A wiemy coś o \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ k}\)?

Przykładowo jeżeli \(\displaystyle{ k>n \Rightarrow P(A)=0}\)

[august6]

mamy tylko to co w tresci więc chyba nalezy załóżyć, że n \(\displaystyle{ \geqslant}\) k albo dwa przypadki?

[mat_61]

Jeżeli tak, to mamy dwa przypadki:

1. \(\displaystyle{ k>n \Rightarrow |A|=0}\)

2. \(\displaystyle{ k \le n \Rightarrow |A|=...?}\) dla każdej kulki wybieramy inną urną (czyli tworzymy różnowartościowy ciąg k-elementowy ze zbioru n-elementowego).-- 1 lis 2011, o 14:46 --Zwróć też uwagę na to, czy dobrze obliczyłeś \(\displaystyle{ |\Omega|=...}\)?

Ile miałbyś możliwości rozmieszczenia gdybyś miał np. jedną kulę i pięć urn?

[august6]

|\(\displaystyle{ \Omega}\)|=\(\displaystyle{ {n \choose k}}\) ?
Natomiast A powinno byc wtedy \(\displaystyle{ {n \choose (n-k)}}\) tylko czy wtedy uwzględnione jest to że urna może równie dobrze być pusta?

[mat_61]

Nie bardzo.

Urny i kule są rozróżnialne.

1. Jeżeli mamy k różnych kul i n różnych urn, to przy dowolnym rozmieszczeniu możemy dla każdej kolejnej kuli wylosować karteczkę z numerem urny do której ją wrzucimy. Oczywiście po każdym losowaniu kartkę zwracamy bo możemy tą samą urnę wylosować dla kolejnej kuli.

2. Jeżeli w każdej urnie ma być nie więcej niż jedna kula to oznacza to, że każda z kul musi być w innej urnie. Takie rozmieszczenie kul możemy uzyskać przy takim sposobie losowania jak w punkcie 1) z tą różnicą, że kartki z numerem urny nie zwracamy bo w urnie może być tylko jedna kula. Jeżeli k<n to oczywiście część urn zostanie pustych.

Czy teraz wiesz jak obliczyć moce zbiorów?

[august6]

juz wiem
|\(\displaystyle{ \Omega}\)|= \(\displaystyle{ n^{k}}\) wariacje ale wybieramy urnę dla kuli nie odwrotnie
|A|= \(\displaystyle{ (n) _{k}}\) czyli chyba bylo dobrze wyzej to A

[mat_61]

juz wiem
|\(\displaystyle{ \Omega}\)|= \(\displaystyle{ n^{k}}\) wariacje ale wybieramy urnę dla kuli nie odwrotnie

OK.
Nie możemy wybierać kuli do urny, bo jedna urna może być przyporządkowana do dowolnej liczby kul (od 0 do k), ale jedna kula nie może być przyporządkowana do dowolnej liczby urn.

|A|= \(\displaystyle{ (n) _{k}}\) czyli chyba bylo dobrze wyzej to A

Nie znam takiego zapisu mógłbyś go przybliżyć? Które A wyżej miałeś na myśli?
Oczywiście moc zbioru A to wariacje bez powtórzeń.

[august6]

chodzi o zapis \(\displaystyle{ {n \choose (n-k)}}\)

dziekuje serdecznie za pomoc -- 1 lis 2011, o 16:12 --a zapis stąd że \(\displaystyle{ {n \choose (n-k)}}\) = n \(\displaystyle{ \cdot}\) (n-1)\(\displaystyle{ \cdot}\)... \(\displaystyle{ \cdot}\) (n-k)

[mat_61]

Ale zapis \(\displaystyle{ {n \choose (n-k)}}\) , czyli symbol Newtona (chyba, że dla Ciebie to jest coś innego) nie oznacza \(\displaystyle{ n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k)}\)

Pierwszy zapis oznacza (n-k) lub k elementowe kombinacje ze zbioru n-elementowego:

\(\displaystyle{ {n \choose (n-k)}= \frac{n!}{(n-k)! \cdot \left( n-(n-k)\right) !} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}= {n \choose k}}\)

Natomiast drugi zapis (po porawieniu) oznacza k-elementowe wariacje bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego:

\(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-k)!} =n! \cdot (n-1)! \cdot ... \cdot (n-k+1)!}\)

[august6]

juz z tego wszystkiego mi sie w głowie po przewracało, jasne, głupoty napisałem przpraszam za zamieszanie