mozna zwinąc:?! i jak...?

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{{n\choose k}}{k}}\)

[max]

Wygrzebuję, bo mi się nudzi...
(i przenoszę - suma skończona ze współczynnikiem dwumiennym, to bardziej do dyskretnej)

Z góry zaznaczam, że zwinięciem tego bym nie nazwał, ale będzie chyba nieco prościej:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \frac{{n\choose k}}{k} = \sum_{k = 1}^{n}{n\choose k}\int\limits_{0}^{1}x^{k - 1}\, = t\limits_{0}^{1}\sum_{k = 1}^{n}{n\choose k}x^{k-1}\, =\\
= t\limits_{0}^{1}\frac{(1 + x)^{n} - 1}{x}\, = t\limits_{0}^{1}\sum_{k = 0}^{n - 1}(1 + x)^{k}\, = ft[\sum_{k = 1}^{n}\frac{(1 + x)^{k}}{k}\right]\Bigg|_{0}^{1} =\\
= \sum_{k = 1}^{n}\frac{2^{k} - 1}{k}}\)
...i to raczej wszystko co mogę dla tej sumy zrobić

A elementarniej, niech:
\(\displaystyle{ s_{n} = \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{{n\choose k + 1}}{k + 1}}\)
Z prostej własności współczynnika dwumiennego:
\(\displaystyle{ {n + 1\choose k + 1} = {n\choose k + 1} + {n\choose k}}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ s_{n + 1} = s_{n} + \sum_{k = 0}^{n}\frac{{n\choose k}}{k+1}}\)
Dalej korzystając z:
\(\displaystyle{ \frac{{n\choose k}}{k + 1} = \frac{n!}{(k+1)!(n - k)!} = \frac{{n + 1\choose k + 1}}{n + 1}}\)
dostajemy:
\(\displaystyle{ s_{n+1} = s_{n} + \frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}}\)
Stąd już mamy wynik:
\(\displaystyle{ s_{n} = \sum_{n = 1}^{n}\frac{2^{k} - 1}{k}}\)

[Tristan]

Dodam tylko, że możemy to uogólnić do postaci \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{a^k}{k}= \sum_{k=1}^n \frac{ (a+1)^k -1}{k}}\).

[max]

No tak, rozumowanie będzie analogiczne, np wystarczy zmienić górną granicę całkowania...