Na ile sposóbów można rozdać ... między ...

[karl153]

1.) Na ile sposobów można rozdać dwadzieścia identycznych lizaków wśród ośmiorga dzieci?

Ja zrobiłem tak, dobrze ?

a.) Jeżeli każde dziecko dostanie co najwyżej jednego lizaka to: \(\displaystyle{ \frac{8!}{20!}}\)
b.) Jeżeli każde dziecko dostanie dowolną liczbę lizaków to \(\displaystyle{ \frac{8^{20}}{20!}}\)

2.Na ile sposobów 30 osób może utworzyć krąg?

Tego zad. nie potrafię. Pomoże ktoś ?

[Inkwizytor]

1a) jest ułamkiem właściwym wiec wychodzi Ci że mniej niż jeden sposób?
1b) Kombinacja z powtórzeniami \(\displaystyle{ {27 \choose 7}}\)

[karl153]

W tym pierwszym zadaniu sugerowałem sie podobnym zadaniem;

2.Oblicz na ile sposobów można rozdać 10 nagród miedzy 100 studentów jeżeli;
a) każdy może otrzymać dowolną liczbę nagród
b)każdy może otrzymać co najwyżej 1 nagrodę

dla nagród rozróżnialnych:
a) wybieramy 10 razy jednego ze 100 studentów:
\(\displaystyle{ 100\cdot 100\cdot ... \cdot 100= 100^{10}}\)
b) pierwszego wybieramy ze 100, drugiego z 99, trzeciego z 98 itd.
\(\displaystyle{ 100\cdot 99\cdot 98\cdot ... \cdot 91}\)
dla nierozróżnialnych - każdy z wyników dzielimy przez \(\displaystyle{ }\)10!

Czy to jest źle ?

[mat_61]

Np. 2a) dla nagród nierozróżnialnych jest źle:

- już sam wynik o tym świadczy, bo nie jest to liczba całkowita.
- jeżeli nagrody są nierozróżnialne to ilość możliwości ich przydzielenia jest równa 10-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 100-elementowego (tak jak napisał inkwizytor).
Np. taki multizbiór:

\(\displaystyle{ \left\{ 2;2;17;18;28;43;43;79;79;79\right\}}\)

oznacza, że studenci nr 2 i 43 dostaną po 2 nagrody, student 79, 3 nagrody a pozostali wymienieni po jednej.

Gdy teraz rozróżnimy nagrody to wg Twojego rozwiązania można by z tego multizbioru utworzyć \(\displaystyle{ 10!}\) różnych ciągów (permutacji) ale tak niestety nie jest, bo w takiej sytuacji będziemy mieli nie permutację ale permutację z powtórzeniami, czyli wszystkich możliwosci będzie:

\(\displaystyle{ \frac{10!}{2! \cdot 2! \cdot 3!}}\)

Zauważ, że z elementów k-elementowego zbioru można utworzyć \(\displaystyle{ k!}\) różnych ciągów tylko dla zbiorów/ciągów różnowartościowych.

-------------------------

Oczywiście nie można rozdać 20 lizaków dla 8 osób w taki sposób, żeby każda miała co najwyżej jednego lizaka (bo lizaków jest więcej niż osób)

---------------------------

Wskazówka do zadania 2.

Taki krąg możesz "przeciąć" w dowolnym z 30 miejsc i utworzyć inny szereg, czyli mówiąc inaczej z 30-stu różnych szeregów możesz utworzyć taki sam krąg.

[karl153]

skoro w zadaniu z lizakiem odpowiednia jest kombinacja z powt. to nie powinno byc po 7 czyli tak;
\(\displaystyle{ {8+20-1 \choose 8} = {27 \choose 8}}\) ?

a w zadaniu nr. 2 będzie po prostu \(\displaystyle{ 30!}\) ?

[mat_61]

skoro w zadaniu z lizakiem odpowiednia jest kombinacja z powt. to nie powinno byc po 7

Powinno być i właśnie tak napisał Inkwizytor

...czyli tak;
\(\displaystyle{ {8+20-1 \choose 8} = {27 \choose 8}}\) ?

Nie.
Sprawdź dokładnie jaki jest wzór.

Jest to 20-elementowy multizbiór składający się z elementów 8-elementowego zbioru, czyli:

\(\displaystyle{ {20+8-1 \choose 20} = {27 \choose 20}}\)

Oczywiście jest to to samo co:

\(\displaystyle{ {27 \choose 7}}\)

a w zadaniu nr. 2 będzie po prostu \(\displaystyle{ 30!}\) ?

Nie. 30! sposobów byłoby gdybyśmy ustawili te osoby w szereg. Skoro z 30 różnych szeregów można utworzyć taki sam krąg, to takich kręgów jest ...(?) razy mniej niż szeregów, czyli:

\(\displaystyle{ \frac{30!}{...} =...}\)

[karl153]

zadanie analogiczne, to u mnie odpowiedzią nie będzie (30-1)!: ?

Theorem 4 - Arranging Objects in a Circle

There are (n - 1)! ways to arrange n distinct objects in a circle.
Example

In how many ways can 5 people be arranged in a circle?

Answer

(5 − 1)! = 4! = 24 ways

[mat_61]

Będzie, bo:

\(\displaystyle{ \frac{30!}{30} =29!}\)

Proponuję jednak abyś starał się zrozumieć skąd biorą się takie a nie inne rozwiązania, a nie opierał się tylko na zadaniach o "podobnej treści" w których "podmienisz" dane, bo to niejednokrotnie może okazać się zwodnicze.

[karl153]

Mamy 6 zadań o różnej skali trudności i teorie, tłumaczenie działu polega na liczeniu zadań, nie mam z kim ich robić, bo po ostatnich korepetycjach na 2h (a miał trudności z podobnymi zadaniami) wielki uczony który u mnie był i skasował mnie 120 zł ! - nauczyciel akademicki - chyba polonistyki bo wzór na zas. wł/wył podał mi taki że iloczyn trzech zbiorów odejmował, sugerując się notatkami napisałem tak na kartkówce, dowiedziałem się dopiero jak Pani prof. napiała odp. na tablicy, że to błąd. Dlatego nawet mając przykładowe zadania na kartkówkę staram się zrobić wszystkie, nawet jak nie których nie rozumiem-kompletnie, a na forach pomoc opiera się na podpowiedziach dlatego liczę przez analogię, jak takowej niema albo nie jestem pewien pisze tutaj, ale dzieki pzdr.

[mat_61]

na forach pomoc opiera się na podpowiedziach

Ale to chyba dobrze?

Oczywiście można napisać gotowe rozwiązanie (i niektórzy tak robią) ale taka "pomoc" niesie znacznie mniej treści. Natomiast jak masz podpowiedź/wskazówkę, to wówczas możesz sam starać się zrozumieć dlaczego tak jest i ewentualnie zawsze dopytać jeżeli czegoś nie rozumiesz.

Wprawdzie nie udzielam płatnych korepetycji ale podana przez Ciebie cena wydaje mi się wyjątkowo wysoka i powinna gwarantować naprawdę maksymalny poziom merytoryczny. Wystarczy zerknąć na oferty na tym forum https://www.matematyka.pl/forum9.htm gdzie ceny są średnio o połowę niższe.

[karl153]

na forach pomoc opiera się na podpowiedziach
Ale to chyba dobrze?

Bardzo dobrze, ale jak bym miał zagłębiać się, w szczegóły to nie wiem jak długo każde z zadań, bym analizował,no nieważne.
Pan który u mnie był to ponoć, mgr.matematyki i dr. coś z budownictwem, typu zbrojenia itp. nie pamiętam.
Dzięki za link. bo nie pomyślałem o tym, dosłownie, zawsze robiłem to za pośrednictwem innego portalu.