dwa zadania z silni

[ksenodyka]

Bardzo proszę o wytłumaczenie jak mam rozwiązać te zadania. Na liczbach wszystko rozumiem, ale przy czymś takim zaczynają się schody...

a) \(\displaystyle{ \frac{n! (n+1)!}{(n-1)! (n+2)!}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{(n+1)! - (n-1)!}{(n+1)! + (n-1)!}}\)

[Lbubsazob]

No to pierwsze:
\(\displaystyle{ \frac{n! (n+1)!}{(n-1)! (n+2)!} = \frac{n! n!(n+1)}{(n-1)!n!(n+1)(n+2)}= \frac{(n-1)! n \cdot n!(n+1)}{(n-1)!n!(n+1)(n+2)}}\)

Zobacz, że dużo się poskraca.

[ksenodyka]

tak zaczęłam właśnie, ale zastanawiam się skąd się wzięło w liczniku to \(\displaystyle{ (n-1)!n \cdot n!(n+1)}\)?

[Lbubsazob]

A wiesz, dlaczego \(\displaystyle{ n!=(n-1)! n}\)?

[ksenodyka]

Rozumiem, czyli po prostu jeśli widzimy, że się będzie skracało jeśli podstawimy, to wtedy wstawiamy?
A w tym drugim to mam zacząć tak:

\(\displaystyle{ \frac{(n+1)! - (n-1)!}{(n+1)! + (n-1)!} = \frac{n! (n+1) -(n-1)!}{n! (n+1)+(n-1)!}}\)?

tylko, że nie wiem co dalej..

[Lbubsazob]

Co do pierwszego, to próbujesz tak rozpisać tę silnię, żeby coś się poskracało. Zawsze patrzysz, co jest najmniejsze, tak jak tam najmniejsze jest \(\displaystyle{ (n-1)!}\) i od niego możesz uzależnić \(\displaystyle{ n!}\).

W przykładzie 2:
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)! - (n-1)!}{(n+1)! + (n-1)!}= \frac{(n-1)!n(n+1)-(n-1)!}{(n-1)!n(n+1)+(n-1)!}}\)
Teraz wyłącz przed nawias \(\displaystyle{ (n-1)!}\) w liczniku i mianowniku.

[ksenodyka]

czyli to ma wyglądać tak?

\(\displaystyle{ \frac{(n-1)! {n(n+1) -1}}{(n-1)! {n(n+1)+1}}= \frac{n ^{2} - n}{n ^{2} + 1}}\)

ale coś chyba jest źle...

[Lbubsazob]

Ma wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)!\left[ n(n+1)-1\right] }{(n-1)!\left[ n(n+1)+1\right]}= \frac{n^2+n-1}{n^2+n+1}}\)

[ksenodyka]

ok. Dzięki wielkie za wytłumaczenie:)