udowodnić tożsamość - dyskretna

[paio0990]

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}(k-1) {n-1\choose k-1}= \sum_{k=3}^{n} n {n-2 \choose k-2} - {n-2 \choose k-2}= \sum_{k=3}^{n} n {n-2 \choose k-2}- \sum_{k=3}^{n} {n-2 \choose k-2}}\)

o takie coś chodzi? pewnie nie:/

[Qń]

Jest ok, ale chodziło mi o coś prostszego:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} (k-1) {n-1 \choose k-1}=\sum_{k=2}^{n} (n-1) {n-2 \choose k-2}=(n-1)\sum_{k=2}^{n}{n-2 \choose k-2}}\).

Do szczęścia brakuje nam zatem już tylko sum
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}{n-2 \choose k-2}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}{n-1 \choose k-1}}\)

Ale podstawiając \(\displaystyle{ a=b=1}\) w tożsamości
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^kb^{n-k}=(a+b)^n}\)
dostaniemy, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}=2^n}\)

Ile zatem równe są te brakujące sumy?

Q.

[paio0990]

Za bardzo to nie wiem jak to powinno być

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} {n-2 \choose k-2}a ^{k-2}b ^{n-k}=(a+b) ^{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}a ^{k-1}b ^{n-k}=(a+b) ^{n}}\)

za a i b co muszę podstawić bo za bardzo nie wiem?-- 20 paź 2011, o 18:43 --Albo tak to powinno być:

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} {n-2 \choose k-2}=2 ^{n-2} }}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}=2 ^{n-1}}\)

nie wiem czy dobrze kombinuje

[Qń]

Zgadza się, te sumy będą równe odpowiednio \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) i \(\displaystyle{ 2^{n-2}}\).

Pozostaje zatem zestawić otrzymane wyniki, by przekonać się ile jest równa wyjściowa suma.

Q.

[paio0990]

Chyba tym razem nic nie wymyślę.
To trzeba dodać wszystkie 3 sumy bo mi nic z tego nie wychodzi albo ja znowu czegoś nie widzę

[Qń]

Prześledź od początku jak była przekształcana wyjściowa suma.

Q.

[paio0990]

nie bardzo mi się zgadza, ale czy to będzie coś takiego:

\(\displaystyle{ (n-1) \sum_{k=2}^{n} {n-2 \choose k-2}=(n-1) \cdot 2^{n-2}}\)

[Qń]

Zupełnie nie o to chodzi. Pierwszym krokiem było pokazanie równości:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k ^{2} {n \choose k}=n\sum_{k=1}^{n} k {n-1 \choose k-1}}\)
Następnie przekształcana była nowa suma.

Prześledź w jaki sposób była przekształcana.

Q.

[paio0990]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}= \sum_{k=1}^{n}(k-1) {n-1 \choose k-1}+ \sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(k-1) {n-1 \choose k-1}= \sum_{k=2}^{n}(k-1) {n-1 \choose k-1}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}(k-1) {n-1 \choose k-1}=(n-1) \sum_{k=2}^{n} {n-2 \choose k-2}}\)

To było coś takiego, ale nie wiem co dalej:/

[Qń]

Dużo nauki jeszcze przed Tobą. Mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k ^{2} {n \choose k}=n\sum_{k=1}^{n} k {n-1 \choose k-1}= n\left( \sum_{k=1}^{n}(k-1) {n-1 \choose k-1}+ \sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}
\right) =\\ =n\left( (n-1)\sum_{k=2}^{n} {n-2 \choose k-2}+ \sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}
\right) = n\left( (n-1)2^{n-2}+2^{n-1}\right)= \ldots}\)

[paio0990]

Dzięki za pomoc i za poświęcony mi czas.
Wiem że dużo ale co ja mogę z tego umieć po jednych zajęciach na których została rzucona kartka z zadaniami do rozwiązania bez żadnego wytłumaczenia ani nic.

[chlorofil]

A nie prościej to przy pomocy indukcji udowadniać?

[paio0990]

Nie wiem może i prościej. jak masz ochotę to możesz mi przedstawić swoje rozwiązanie może się czegoś więcej nauczę przy okazji

[Qń]

A nie prościej to przy pomocy indukcji udowadniać?

Nie.

Q.