Elementy kombinatoryki - tworzenie liczb

[Peres]

Witam. Mam duży problem z zadaniem takim :

Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ 2,3,4,5,6,7}\) tworzymy sześciocyfrowe liczby o różnych cyfrach.
a) Ile jest takich liczb,w których cyfry 5 i 6 nie występują obok siebie w podanej kolejności ?
b) Ile jest takich liczb, w których cyfry 5 i 6 nie występują obok siebie?
c) Ile jest takich liczb,w których cyfrą jedności jest cyfra 7 ?

Nie wiem jak się zabrać za to zadanie. Jedynie umiem powiedzieć,że w punkcie a) pierwszą liczbę można zapisać na \(\displaystyle{ 6!}\) sposobów. Nie umiem wymyślić w jaki sposób zapisać warunek dotyczący cyfr 5 i 6. Bardzo prosiłbym o pomoc i wyjaśnienie jak to rozwiązać Pozdrawiam

[tometomek91]

a) wszytkich mozliwych liczb jest \(\displaystyle{ 6!=720}\), policzmy te i tylko te, które nie czynią zadość podanemu warunkowi, tzn. 5,6 stoją obok siebie w podanej kolejności. "Miejsc" w tej liczbie na piątkę a zaraz za nią bezpośrednio szóstkę jest 5. Resztę liczb (jest ich cztery) możemy permutować, łącznie jest więc \(\displaystyle{ 5 \cdot 4!}\). Zatem liczb szukanych w podpunkcie a) jest \(\displaystyle{ 6!- 5 \cdot 4!=6!-5!=600}\).
b) podobnie (powinno wyjść \(\displaystyle{ 6!- 2 \cdot 5 \cdot 4!}\)).
c) siódemkę dajemy na ostatnie miejsce, a rezsztę permutujemy, czyli tych liczb jest \(\displaystyle{ 5!}\).

[Peres]

A mógłbyś rozwinąć punkt b ? Bo nie mogę się połapać jak obliczyłeś ile razy 5 i 6 nie stoją obok siebie

[tometomek91]

Liczymy te liczby, w których 5 i 6 występują obok siebie, czyli mamy możliwości:
56_ _ _ _
_ 56 _ _ _
_ _ 56 _ _
_ _ _ 56 _
_ _ _ _ 56
czyli \(\displaystyle{ 5 \cdot 4!}\) (jak w a) ale jeszcze razy dwa, bo nie istotna jest kolejność (może być również 65).
Teraz odejmujemy to od \(\displaystyle{ 6!}\).

[Peres]

A to najwyraźniej źle zrozumiałem polecenie, bo ja to rozmyślałem, że 5 i 6 nie stoją obok siebie i tak rozważałem rozwiązania :

5 _ 6 _ _ _
5 _ _ 6 _ _
itp itd. także ja źle musiałem zrozumieć. Dzieki wielkie za odpowiedź

[tometomek91]

Tak jak mówisz też można, ale ja zrobiłem inaczej, napisałem w pierwszym poście: szukamy tych które nie spełniają warunku i odejmujemy je od wszystkich możliwych.

[Peres]

Nie chce zakładać osobnego tematu a mam problem z kolejnym zadaniem ...

Na posiedzeniu Sejmu po przedstawieniu projektu nowej ustawy do dyskusji zgłosiło się siedmiu posłów :
\(\displaystyle{ A,B,C,D,E,F,G}\). Na Ile sposobów prowadzący posiedzenie może ustalić listę dyskutantów jeśli :
a) pierwszym dyskutantem ma być poseł A
b) poseł B może wystąpić dopiero po pośle A
c ) Posłowie a i B wystąpią jeden po drugim niezależnie od tego,który wystąpi jako pierwszy

Z punktem a poradziłem sobie bez problemu, lecz z punktem b) mam taki problem :

ustalam jako liczbę możliwości wystąpienia posłów z wyłączeniem posła A i posła B jako : \(\displaystyle{ 5!}\), możliwości wystąpienia posłów A i B jest 6, więc \(\displaystyle{ 6*5!}\) wychodzi 720, więc to i tak jest błędne. Odpowiedź wynosi \(\displaystyle{ 2520}\). Wyjaśni mi ktoś, gdzie robię błąd w rozumowaniu ?

[tometomek91]

możliwości wystąpienia posłów A i B jest 6

nie, jest ich \(\displaystyle{ 1+2+...+6}\): albo poseł A występuje przedostatni, wtedy B ma jedną możliwość, albo A jako trzeci od końca, wtedy B ma dwie możliwości, ..., albo A występuje pierwszy, wtedy B ma mozliwości 6.
podpunkt c) podobnie jak b) w pierwszym zadaniu.

[Peres]

Ok juz rozumiem,dzieki