Adam i Ewa siedzą

izaizaiza · Post autor: **izaizaiza** » 17 paź 2011, o 17:31

Wśród 6 osób jest Adam i Ewa. Na ile sposobów można posadzić te osoby na podłużnej ławce tak, aby Adam nie siedział obok Ewy? (odp. 480)

Jak można rozwiązać to zadanie inaczej niż z różnicy wszystkich możliwych permutacji i sytuacji, w których Adam siedzi obok Ewy?

Nie wiem gdzie robię błąd, rozważam po kolei sytuacje, kiedy:

a) między Adamem a Ewą siedzi 1 osoba
b) między Adamem a Ewą siedzą 2 osoby
c) między Adamem a Ewą siedzą 3 osoby
d) między Adamem a Ewą siedzą 4 osoby

i sumuję ich ilość, ale wychodzi mi kosmiczna liczba. Mógłby mi to ktoś rozpisać?

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 17 paź 2011, o 17:55

izaizaiza pisze:
a) między Adamem a Ewą siedzi 1 osoba
b) między Adamem a Ewą siedzą 2 osoby
c) między Adamem a Ewą siedzą 3 osoby
d) między Adamem a Ewą siedzą 4 osoby

Wszystko pasuje również tym sposobem.

a)\(\displaystyle{ 8 \cdot 24}\)

b)\(\displaystyle{ 6 \cdot 24}\)

c)\(\displaystyle{ 4 \cdot 24}\)

d\(\displaystyle{ 2 \cdot 24}\)

Razem 480

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 17 paź 2011, o 18:00

Poniżej mała wizualizacja (przy każdym posadzeniu Adama i Ewy pozostałe cztery osoby można rozsadzić na 4x3x2x1 sposobów)

math questions · Post autor: **math questions** » 17 paź 2011, o 18:03

lub \(\displaystyle{ 6!-2 \cdot 5!=480}\)

izaizaiza · Post autor: **izaizaiza** » 17 paź 2011, o 18:17

Właśnie mam problem z policzeniem pierwszego czynnika. Adam i Ewa mogą się zmieniać między sobą na \(\displaystyle{ 2!}\) sposobów, ale co z tym zrobić dalej?

Sherlock, dzięki za rysunek

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 17 paź 2011, o 18:28

Idę Twoim tokiem rozumowania:
jeżeli Adam i Ewa nie siedzą obok siebie to mogą zajmować miejsca:
1-3,1-4,1-5,1-6,
2-4,2-5,2-6,
3-5,3-6,
4-6.

Razem 10 możliwości. Czyli \(\displaystyle{ 10 \cdot 2! \cdot 4!=10 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4=480}\)

izaizaiza · Post autor: **izaizaiza** » 17 paź 2011, o 19:05

A można ustalić jakie miejsca mogą zajmować bez wypisywania wszystkich (żeby otrzymać to 10)?
Wychodzi mi tym sposobem ze "sklejaniem" Adama, Ewy i kolejnych ludzi, którzy stoją między nimi, chyba myślenie poprawne?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 17 paź 2011, o 19:22

\(\displaystyle{ (6-2)+(6-3)+(6-4)+(6-5)=10}\)

Ogólnie, gdy jest n miejsc to możliwości jest \(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{n-1}(n-i)}\)

izaizaiza · Post autor: **izaizaiza** » 17 paź 2011, o 19:56

A ta suma jest po prostu uogólniona dla sytuacji jak w zadaniu i zmieniającej się ilości miejsc = ludzi, czy ma jeszcze szersze zastosowanie przy innych typach zadań?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 17 paź 2011, o 20:13

Jest uogólnieniem dla tego typu zadania i n-miejsc=ludzi (żeby nie wypisywać wszystkich możliwości dla np. 100 osób na 100 miejscach). Tego typu wzory wyprowadza się niestety samemu, mając konkretne zadanie. Trudniej byłoby np., gdyby ludzie nie siedzieli na ławce ale przy okrągłym stole. Poszukaj sobie na tym forum takich zadań.

izaizaiza · Post autor: **izaizaiza** » 17 paź 2011, o 20:19

Ok, rozumiem. Dzięki za pomoc