Sprawdzenie zadań

[Exorcysta]

Witam czy mógłbym prosić o sprawdzenie zadań ?

1. \(\displaystyle{ \frac{n!(n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}= \frac{n!(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!(n+2)!}= \frac{n!(n+1)n}{(n+2)!}= \frac{n(n+1)(n+2)!(n+1)n}{(n+2)!}=(n(n+1)) ^{2}}\)

2. \(\displaystyle{ \frac{(n-1)!(n+2)!}{(n!) ^{2} }= \frac{(n-1)!(n+2)!}{n!n!}= \frac{(n-1)n!(n+2)!}{n!n!}= \frac{(n-1)(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n-1)(n+2)(n+1)}\)

Z góry dziękuje za odpowiedź i ewentualne uwagi.

[chlorofil]

1/ (3) = (4) - to jest nieprawda, nie możesz sobie ot tak w liczniku dołożyć \(\displaystyle{ (n+2)!}\) znikąd. Tu raczej mianownik należałoby trochę rozpisać.

2/ Ten sam błąd w przejściu (2) = (3)

[Exorcysta]

O ile dobrze rozumiem chodzi o to że

\(\displaystyle{ n! = n(n-1)(n-2)!}\)

a nie

\(\displaystyle{ n! = n(n+1)(n+2)!}\)

Ale teraz to się już konkretnie zgubiłem i nie wiem co z tym zrobić. Mógłby ktoś pokazać jak to powinno wyglądać ?

[chlorofil]

Tak, dokładnie o to chodzi, po prostu rozpisz mianownik:

\(\displaystyle{ (n+2)! = (n+2)(n+1)n!}\)

[Exorcysta]

Czyli to powinno wyglądać tak ? Można to doprowadzić do jakiejś bardziej ludzkiej postaci ?

\(\displaystyle{ \frac{n!(n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}= \frac{n!(n+1)!}{(n-1)n!(n+2)!} = \frac{n!(n+1)}{(n-1)n!(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n-1)(n+2)}}\)

[chlorofil]

Niestety znów źle jest w przejściu (1) = (2). W mianowniku znów sobie dodałeś niewiadomo skąd \(\displaystyle{ n!}\)...

[Exorcysta]

czyli \(\displaystyle{ (n-1)! \neq n!(n-1)}\) ??

Może podacie jakiś tytuł książki (najlepiej dobrze dostępnej na internecie) z rozwiązanymi zadaniami tego typu.

[chlorofil]

czyli \(\displaystyle{ (n-1)! \neq n!(n-1)}\) ??

Oczywiście, że tak! Zgodnie z definicją możesz napisać tylko tak:

\(\displaystyle{ n! = (n-1)! \cdot n}\), dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Podobnie:

\(\displaystyle{ (n+2)! = (n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}\) itp.

[Exorcysta]

Ach to może teraz
\(\displaystyle{ \frac{n!(n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}= \frac{(n-1)!n(n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}= \frac{n(n+1)!}{(n+2)!}= \frac{n(n+1)n!}{(n+2)(n+1)n!}= \frac{n}{n+2}}\)

A w drugim utchnąłem :/

\(\displaystyle{ \frac{(n-1)!(n+2)!}{(n!) ^{2} }= \frac{(n-1)!n!(n+1)(n+2)}{n!n!}= \frac{(n-1)!(n+1)(n+2)}{n!}= ?}\)

Nawet gdybym pomarzył tamto przez \(\displaystyle{ \frac{n}{n}}\) to wyjdzie mi jakiś taki brzydki wynik \(\displaystyle{ \frac{(n+1)(n+2)}{n}}\) No chyba że tak ma wyjść

[kropka+]

Tak ma wyjść

[Exorcysta]

Dzięki wielkie za pomoc Załapałem