Wykazać równość (silnia)

[laewqq]

Mam uzasadnić taką równość:
\(\displaystyle{ {n+1 \choose k+1} = {n \choose k} + {n \choose k+1}}\)

Przekształcenie lewej strony daje taki wynik:
\(\displaystyle{ \frac{\left( n+1\right)! }{\left( k+1\right)!\left( n-k\right) }}\)

Niestety nie udaje mi się rozpisać tak prawej strony aby wyszło to samo. Czy mógłby mi ktoś pomóc ?

[Lider Artur]

\(\displaystyle{ {n+1 \choose k+1}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n+1-(k+1))!}=\frac{n!(n+1)}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{n!(k+1+n-k)}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{n!(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{n!(k+1)}{(k+1)!(n-k)!}+\frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}=...}\)

[laewqq]

Tam zapomnialem znaku silni w mianowniku, ale licznik jest taki sam jak u pana tylko inaczej zapisany. Tak czy inaczej nie wiem jak rozpisać prawa strone

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ {n \choose k} + {n \choose k+1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}+ \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}\)
Teraz sprowadź to do wspólnego mianownika i zobacz, co dalej wyjdzie.

[laewqq]

Tyle miałem, tylko potem przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika i dalszych obliczeniach musze robić coś źle, miło będzie jak ktoś to zrobi do końca, wtedy będe wiedział co miałem źle.

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ L={n+1 \choose k+1} = \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} \\
\\
P={n \choose k} + {n \choose k+1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}+ \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} = \frac{n!}{k!(n-k-1)!(n-k)}+ \frac{n!}{k!(k+1)(n-k-1)!}= \frac{n!(k+1)}{k!(k+1)(n-k-1)!(n-k)}+ \frac{n!(n-k)}{k!(k+1)(n-k-1)!(n-k)}= \frac{n!(n+1)}{k!(k+1)(n-k-1)!(n-k)}= \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} \\ \\ L=P}\)