o wypełnianiu macierzy kwadratowych

[MichalKulis]

Mamy macierz \(\displaystyle{ n \cdot k}\). Jej wyrazami mogą być \(\displaystyle{ 0}\) albo \(\displaystyle{ 1}\). Chcemy aby w i-tym wierszu suma składników była równa \(\displaystyle{ w _{i}}\) a w i-tej kolumnie \(\displaystyle{ k _{i}}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}w _{i} = \sum_{i=1}^{k}k _{i}}\) oraz dla każdego i: \(\displaystyle{ 1 \le w _{i} < k \wedge 1 \le k _{i} < n}\).

Udowodnij, że jesteśmy wstanie stworzyć taką macierz bez względu na wybór \(\displaystyle{ w _{i}}\) oraz \(\displaystyle{ k _{i}}\).

Ja tego dowiodłem w sposób dosyć zawoalowany. Ciekaw jestem, czy da się w inny sposób.

[norwimaj]

Moim zdaniem nie da się tego udowodnić w sposób niezawoalowany. Spójrzmy na przykład \(\displaystyle{ n=k=5}\), \(\displaystyle{ w_1=w_2=w_3=k_1=k_2=k_3=1}\), \(\displaystyle{ w_4=w_5=k_4=k_5=4}\). Po wstawieniu czterech jedynek do ostatniej kolumny mamy już tylko co najwyżej trzy wiersze, w które możemy jeszcze wstawiać jedynki. Nie można więc wstawić czterech jedynek w kolumnie przedostatniej.

[MichalKulis]

masz rację. popełniłem mały błąd logiczny w dowodzie twierdzenia, które jest zatem fałszywe.