Ile rozwiązań złożonych z liczb całkowitych dodatnich ma ...

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Ile rozwiązań złożonych z liczb całkowitych dodatnich ma ...

Post autor: kamil13151 »

Ile rozwiązań złożonych z liczb całkowitych dodatnich ma równanie \(\displaystyle{ a+b+c+d=20}\) ?
frej

Ile rozwiązań złożonych z liczb całkowitych dodatnich ma ...

Post autor: frej »

Spróbuj znaleźć liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ a+b+c+d=16, a,b,c,d\in \mathbb{Z}_{+} \cup \{ 0\}}\) przy pomocy interpretacji kombinatorycznej

Skojarz z 16 kulkami i 3 przegrodami między kulkami.
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Ile rozwiązań złożonych z liczb całkowitych dodatnich ma ...

Post autor: kamil13151 »

Skąd te zero tam?

Pokazałbyś swoje pełne rozwiązanie? Już wiem co i jak (dostałem odpowiedź na innym forum, kapuje je), ale chciałbym porównać, chcę to bardzo dobrze rozumieć.

Te zadanie raczej wybiega poza maturę rozszerzoną?
frej

Ile rozwiązań złożonych z liczb całkowitych dodatnich ma ...

Post autor: frej »

Nie wiem, nie znam wymogów egzaminacyjnych. Poczytaj o kombinacjach z powtórzeniami (jakoś tak). A rozwiązanie to zwykłe podstawienie do wzoru.
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Ile rozwiązań złożonych z liczb całkowitych dodatnich ma ...

Post autor: kamil13151 »

Kombinacji z powtórzeniami nie ma w programie LO, są tylko bez powtórzeń. To jak by podstawić do tego wzoru: ... B3rzeniami ?
frej

Ile rozwiązań złożonych z liczb całkowitych dodatnich ma ...

Post autor: frej »

Tak, do tego.-- 27 września 2011, 17:59 --Możesz to interpretować tak:
Ilość rozwiązań równa jest ilości możliwości wstawienia trzech przegród pomiędzy 16 kulek, bo każdy taki podział wyznacza pewne rozwiązanie. Przykładowo
rozwiązaniu \(\displaystyle{ 2,5,3,6}\) odpowiada rysunek
oo|ooooo|ooo|oooooo
Teraz tylko udowodnij, że tych wstawień przegród jest tyle ile trzeba.
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Ile rozwiązań złożonych z liczb całkowitych dodatnich ma ...

Post autor: kamil13151 »

Rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ {19 \choose 3}}\), ale jak to wstawić do tego wzoru na kombinacje z powtórzeniami to nie wiem.

\(\displaystyle{ {k+n-1 \choose k}}\)
Wychodziło by, że \(\displaystyle{ k=3}\) a \(\displaystyle{ n=17}\) tylko skąd?
frej

Ile rozwiązań złożonych z liczb całkowitych dodatnich ma ...

Post autor: frej »

u ciebie k,n znaczą tyle co n,k w linku. Zwyczajnie inaczej nazwane zmienne. Dla \(\displaystyle{ k=4}\) i \(\displaystyle{ n=16}\) wychodzi \(\displaystyle{ {19\choose16}={19\choose 3}}\)
ODPOWIEDZ