możliwości usadzenia w ławkach 3osobowych

[rafalafar]

Z ilu osób składa się grupa, jeżeli wiadomo, że można je posadzić w trzyosobowych ławkach na sześć sposobów?

Hm.. Najpierw wydawało mi się, że to będą kombinacje bez powtórzeń 3 wyrazowe z n elementów, bo tyle ile się da utworzyć trójek, tyle będzie możliwych usadzeń, ale doszedłem do wniosku, że przy wyborze grup trzyosobowych niektóre osoby będą kilka razy w różnych grupach.

Do pierwszej ławki można wybrać 3 osoby z pośród n na \(\displaystyle{ \left( {n \choose 3} \right)}\) sposobów do drugiej na \(\displaystyle{ {n-3 \choose 3}}\) sposobów itd... do ostatniej na \(\displaystyle{ {3 \choose 3}}\) ? No, ale z tego nic nie wychodzi. Ktoś ma jakąś radę/pomysł?

[yorgin]

Ja mam pomysł ale w przeciwieństwie do Ciebie, mnie narzuca się rozróżnianie kolejności osób siedzących na ławkach.

Ozn.

\(\displaystyle{ m-}\)ilość osób
\(\displaystyle{ n-}\)ilość ławek

Wtedy jest \(\displaystyle{ 3n}\) miejsc na ławkach, a więc \(\displaystyle{ 3n\geq m}\)

Ilość ustawień \(\displaystyle{ m}\) osób na \(\displaystyle{ 3n}\) miejscach

\(\displaystyle{ \frac{(3n)!}{(3n-m)!}=6}\)

Dla \(\displaystyle{ n>2}\) równanie nie ma rozwiązań (dlaczego?)

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) dostajemy \(\displaystyle{ m=1}\)

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) dostajemy \(\displaystyle{ m=2,3}\)


Jeżeli jednak nie uwzględniasz kolejności, to myślę że z tego, co napisałem, dasz radę dokonać odpowiednich modyfikacji.

[MichalKulis]

primo, czy ławki są rozróżnialne? (sądzę, że są)
secundo, czy może być tak, że do jednej ławki usiądzie tylko jedna albo dwie osoby?

ogólnie zadanie jest słabo sprecyzowane.

[rafalafar]

primo, czy ławki są rozróżnialne? (sądzę, że są)
secundo, czy może być tak, że do jednej ławki usiądzie tylko jedna albo dwie osoby?

ogólnie zadanie jest słabo sprecyzowane.

Trudno powiedzieć. To zadanie z jakiegoś zbioru dla licealistów na poziomie podstawowym, dlatego sądzę, że autor założył, że sytuacja jest maksymalnie prosta. Ono jest w temacie wariacje bez powtórzeń. Mi się wydaje, że osób jest tyle ile wszystkich miejsc, a ławki rozróżnialne.

Dla \(\displaystyle{ n>2}\) równanie nie ma rozwiązań (dlaczego?)

nie mam pojęcia dlaczego i jak się rozwiązuje takie równania. Czy na zasadzie prób i błędów?
Modyfikacja przy nieuwzględnianiu kolejności to będzie kombinacja, czyli \(\displaystyle{ {3n \choose m} =6}\)?

[kropka+]

Strasznie to wszystko skomplikowaliście. Zapewne chodzi o to, że liczba osób jest podzielna przez 3.
Oznaczając:
n- ilość osób
szukamy ilości 3-osobowych wariacji bez powtórzeń, czyli:

\(\displaystyle{ V ^{3} _{n}= \frac{n!}{(n-3)!}= (n-2)(n-1)n=6}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ (n-2)(n-1)n}\) to iloczyn kolejnych liczb naturalnych. Widać więc, że ten warunek spełniają tylko liczby 1, 2, 3.

\(\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot 3=6}\).

Wynika z tego, że \(\displaystyle{ n=3}\).

Odp. 3 osoby można posadzić w jednej 3-osobowej ławce na 6 sposobów.

[MichalKulis]

Możliwe, że właśnie o to chodziło. Tylko w takim razie, skoro liczy się kolejność w ławkach to po co wyszczególniać, że mamy ławki 3-osobowe? Równie dobrze mogli by siedzieć na nieskończonej ławce i usiedliby (koło siebie) na tyle samo sposobów.-- 27 wrz 2011, o 22:50 --poza tym na wstępie założyłaś, że są trzy osoby, więc rozwiązałaś zadanie niejako od tyłu;)

[piasek101]

Nie robiłem (zadanie widziałem wcześniej) - bo jak wspomniano - brak precyzji.

Posadziłem 1 osobę w dwóch ławkach i też wyszło mi 6.