Sposoby rozmieszczenia laborantów

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Nasq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 24 wrz 2011, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Południe

Sposoby rozmieszczenia laborantów

Post autor: Nasq »

Witam! Ostatnio na lekcji matematyki rozwiązywaliśmy zadanie mniej więcej tej treści: "Na ile sposobów możemy rozdzielić 8 laborantów, jeżeli chcemy, aby pracowali oni w parach?". Dosyć ciężko było nam wymyślić rozwiązanie, ale zaproponowałem mniej więcej coś takiego: Wybieramy pierwszego laboranta. Może on utworzyć pary z siódemką osób (czyli mamy 7 różnych możliwości utworzenia pierwszej pary). Po wybraniu tej pary zostaje nam 6 laborantów, a liczba możliwości utworzenia kolejnej pary to 5. Później zostaje 4 laborantów (3 możliwości utworzenia pary), a na końcu dwójka i jedna możliwa para. Wobec tego mamy \(\displaystyle{ 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1=105}\). Wynik się zgadza, rozwiązanie wg mnie też, ale nauczycielka stwierdziła, że to nie jest poprawne. A ja uważam, że mój sposób uwzględnia wszystkie możliwości utworzenia par. Kto ma rację?
Awatar użytkownika
mm34639
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 61 razy

Sposoby rozmieszczenia laborantów

Post autor: mm34639 »

inne podejście do zagadnienia : )
AB|CD|EF|GH
ustawiamy 8 osób w kolejce na 8! sposobów - te pionowe kreseczki nam nie przeszkadzają

ale BA|CD|EF|GH to ten sam podział na pary co AB|CD|EF|GH - nie liczy się przecież kolejność wewnątrz pary
dlatego dzielimy to przez \(\displaystyle{ 2^4}\)
są cztery komórki, w środku każdej 2!=2 ustawienia ludzi, a potrzebujemy policzyć tylko jedno ustawienie

ponadto AB|CD|EF|GH to ten sam podział co CD|AB|EF|GH (nie liczy się kolejność komórek)
dlatego dodatkowo dzielimy przez 4!

razem \(\displaystyle{ \frac{8!}{2^4 4!}=105}\)

Twoja metoda też jest raczej dobra:) Można ją uzasadnić tak:
Chcemy wypełnić pierwszą komórkę, bierzemy którąś osobę i tam wsadzamy
Nie liczy się kolejność komórek, tylko kto jest z kim, dlatego tego nie liczymy, bo tak naprawdę nie dokonaliśmy żadnego wyboru. Wyboru dokonujemy dopiero teraz, dobierając pierwszej osobie towarzysza (na 7 sposobów). I teraz dopiero wliczamy tę siódemkę. Znowu bierzemy którąś osobę i wsadzamy do drugiej komórki, i dobieramy jej kogoś na 5 sposobów... itp
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Sposoby rozmieszczenia laborantów

Post autor: mat_61 »

Nasq Twoje rozwiązanie jest jak najbardziej dobre. Może nauczycielka ma w głowie jakiś jeden sposób i uważa go za jedyny poprawny.

Można zrobić tak jak to zrobił mm34639 można wykorzystując np. kombinacje + permutacje:

\(\displaystyle{ \frac{C^{2}_{8} \cdot C^{2}_{6} \cdot C^{2}_{4} \cdot C^{2}_{2}}{4!}}\)

Ważne, żeby było zrobione dobrze.

Jeżeli chodzi o tego typu zadania to możesz np. zerknąć na ten wątek:

https://www.matematyka.pl/230511.htm#p858367
ODPOWIEDZ