rachunek różnicowy

[razorr]

mam sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(-1)^k k^\underline2}\)

wyliczam:
\(\displaystyle{ f(k) = (-1)^k}\)
\(\displaystyle{ \Delta f(k) = 2^k}\)
\(\displaystyle{ g(k) = k^\underline2}\)
\(\displaystyle{ \Delta g(k) = 2k\n}\)
\(\displaystyle{ Eg(k) = k(k-1) = (k+1)(k-1+1) = (k+1)}\)

a później już do wzoru


czy dobrze myślę?

[abc666]

razorr, jak wyliczyłeś \(\displaystyle{ \Delta f}\) ?

[razorr]

no mam \(\displaystyle{ (-1)^k}\) czyli chyba biorę wzór \(\displaystyle{ c^k = (c-1)c^k}\) czyli wychodzi mi
\(\displaystyle{ (-1)^k = (-1-1)-1^k = -2 \cdot -1^k = 2^k}\)

[Qń]

Pomijając już wszystkie inne błędy (w szczególności ten elementarny przy wyliczeniu \(\displaystyle{ \Delta f}\)): jeśli kładziesz \(\displaystyle{ f=(-1)^k, \Delta g=2k}\), to sumując przez części obliczysz sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n(-1)^k2k}\) czyli nie tę, o którą chodzi.

Q.

[razorr]

czy chodzi o coś takiego \(\displaystyle{ g(k) = \frac{k^\underline3}{3}}\) ? wtedy chyba wyjdzie \(\displaystyle{ \Delta g(k) = k^\underline2}\) a \(\displaystyle{ \Delta f(k) = -2(-1)^k}\)

[Qń]

Teraz ok, ale w ten sposób nowo otrzymana suma nie będzie wcale łatwiejsza od wyjściowej (a o to przecież chodzi). Spróbuj przyjąć \(\displaystyle{ f,\Delta g}\) na odwrót.

Q.

[razorr]

więc teraz mam otrzymać \(\displaystyle{ \Delta g(k) = \frac{(-1)^k}{-2}}\) a f(k) to po prostu \(\displaystyle{ f(k)=k^\underline2}\) ? też jakoś łatwiej nie wygląda...