Zasada mnożenia

[edith1423]

Witam. Zadanie podchodzi pod wariacje, ale muszę je umieć zrobić metodą mnożenia.

5 ponumerowanych kul umieszczamy losow w 4 różnokolorowych pudełkach. Ile jest możliwych rozmieszczeń tych kul, jeżeli kule mogą się znaleźć tylko w 2 pudełkach?

Nie rozumiem tego zapisu :
\(\displaystyle{ \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot ( 2^{5}-2)}\)

Proszę o dokładne rozpisane sytuacji.

[tometomek91]

Najpierw wybieramy dwa pudełka spośród czterech na kule, oczywiscie na \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) sposobów. Następnie, dla pierwszej kuli wybieramy jedno z tych dwóch pudełek na dwa sposoby, później, również na dwa sposoby, pudełko dla drugiej kuli itd. Czyli razem \(\displaystyle{ 2^5}\) sposobów rozmieszczenia kul. Jak dotąd naliczyliśmy \(\displaystyle{ {4 \choose 2} \cdot 2^5}\) sposobów, ale może się tak zdarzyć, że wybierzemy czerwone i pomarańczowe pudełko i umieścimy wszystkie kule w pomarańczowym. Jako drugie rozmieszczenie, wybieramy pomarańczowe i zielone pudełko i też rozmieszczamy kule wszystkie w pomarańczowym pudełku. Jest to identyczne rozmieszczenie jak za pierwszym razem, ale liczone podwójnie. Musimy odjąć \(\displaystyle{ 12}\) sposobów, ponieważ jeżeli wybierzemy pomaranczowe i czerwone pudełko i umieścimy wszystkie 5 piłek w pomarańczowym pudełku za pierwszym rozmieszczeniem, to nie możemy wybrać za drugim rozmieszczeniem wypełnionego piłkami pudełka pomarańczowego i jakiegoś innego, więc nie mamy 3 wyborów pustych pudełek dla pełnego pomarańczowego, a że pudełek jest 4, to odejmujemy od wszystkich \(\displaystyle{ 12=\frac{3 \cdot 4}{2} \cdot 2}\).