Ustawienie książek na dwóch półkach

[max320]

Na ile sposobów możemy ustawić 6 książek na dwóch polkach, jeżeli każda książka może stać na dowolnej polce, a na każdej półce książki mogą stać w dowolnej kolejności.

Moim zdaniem rozwiązanie powinno być postaci \(\displaystyle{ 2^{6}}\), jednak sugerowane rozwiązanie w książce się z tym nie pokrywa. Gdzie popełniam błąd ?

[Kacperdev]

"a na każdej półce książki mogą stać w dowolnej kolejności."

Zapominasz o tym

[max320]

Mhm, masz racje. To będzie \(\displaystyle{ 6!}\), jednak w książce jest: \(\displaystyle{ 6! \cdot 2^{5}}\), a nie tak jak myślę, że powinno być:\(\displaystyle{ 6! \cdot 2^{6}}\). Co tym razem mi umknęło ?

[Mefistocattus]

Hmm... Mnie wychodzi \(\displaystyle{ 7!}\) :/

Pierwszy sposób:
Jedną książkę można położyć na jednej lub drugiej półce - dwa sposoby.
Drugą książkę można położyć na osobnej półce lub tej samej: przed lub po pierwszej książce - to trzy sposoby.
Trzecią książkę można położyć przed pierwszą książką, przed drugą książką, na końcu pierwszej półki lub na końcu drugiej - to cztery sposoby.
itd.
Szóstą książkę można położyć przed pierwszą, drugą, trzecią, czwartą, piątą, na końcu pierwszej półki lub na końcu drugiej - to siedem sposobów.
Podsumowując:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 7!}\)

Drugi sposób:
Przyjmijmy, że mamy nie dwie półki, lecz jedną, przedzieloną jaką przekładką. Wtedy mamy siedem elementów, które możemy układać w dowolnej kolejności. Ostatecznie również mamy \(\displaystyle{ 7!}\).

Ale to przy założeniu, że jedna półka może zostać pusta.
Jeśli nie - trzeba odjąć liczbę możliwości "jednopółkowych", tj.
\(\displaystyle{ 7! - 2 \cdot 6! = 7 \cdot 6! - 2 \cdot 6! = 5 \cdot 6!}\) - jeszcze inny wynik.

Ktoś znajdzie błąd?

[Kacperdev]

Szczerze to zbiłes mnie z tropu. Myślałem nad zupelnie innym rozwiazaniem. Własnie.... stawiam na \(\displaystyle{ 7!}\)

Co prawda inaczej tłumaczyłem rozwiazanie \(\displaystyle{ 7!}\) ale tak samo uważam.

[max320]

No to mamy kilka różnych odpowiedzi i każda ma sens oO. Z tym, że w odpowiedziach w książce jest \(\displaystyle{ 6! \cdot 2^{5}}\)
Miło by było gdyby ktoś to zweryfikował.

[MichalKulis]

Zobaczmy w jakich ilościach mogą stać książki na pierwszej i drugiej półce:

6 + 0
5 + 1
4 + 2
3 + 3
2 + 4
1 + 5
0 + 6

Dla każdego przypadku mamy \(\displaystyle{ 6!}\) możliwości rozmieszczenia książek.

Zatem \(\displaystyle{ 7 \cdot 6! = 7!}\)

[Kacperdev]

Czyli kolejna osoba potwierdzająca \(\displaystyle{ 7!}\) albo wszyscy zle rozumiemy polecenie.

[Mefistocattus]

Powiadają, najmniej ścisłym elementem matematyki są treści zadań. :-D

Wygląda na to, że wg twórców zadania kolejność jest również zachowana pomiędzy półkami, tj.

Kod: Zaznacz cały

12_3__
__4_56

Jest liczone jako ustawienie inne niż

Kod: Zaznacz cały

123___
___456

Widzę tylko taką możliwość dotarcia do wyniku Maxa320 - najpierw binarnie możliwości góra/dół, następnie kolejność.

Ma ktoś inny pomysł?

[MichalKulis]

@Mefistocattus - gdyby tak to rozumieli twórcy zadania to byśmy mieli 12 możliwych pozycji i zatem wynikiem byłoby \(\displaystyle{ {12 \choose 6}*6!}\). Więc chyba nie to mieli na myśli. Myślę, że się pomylilli zwyczajnie.

[Kacperdev]

Lub inna interpretacja teorii @Mefistocattus

\(\displaystyle{ 12! \cdot 11! \cdot 10! \cdot 9! \cdot 8! \cdot 7!}\)

A to też rózne od "prawidłowego" wyniku.

[MichalKulis]

Treść zadania jest jasna. Wynik to 7! a odpowiedzi się czasem mylą. Nie ma co tego dalej roztrząsać.