Funkcje tworzace

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
pawellech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 14 wrz 2011, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom

Funkcje tworzace

Post autor: pawellech »

Mam problem z taką funkcją tworzącą
\(\displaystyle{ L_0=1}\)
\(\displaystyle{ L_n = L_{n-1} + n}\)

dochodze do momentu gdzie w podreczniku jest napisane "Wykorzystujac fakt ze funkcja tworzaca ciagu g_n = n ma postac


\(\displaystyle{ g(x)= x* ( \frac{1}{1-x} )' = \frac{x}{(1-x)^2}}\) nie wiem skad sie bierze ten wzór



Jakby ktos mogl rozwiazac ta rekurencje byłbym wdzięczny.

\(\displaystyle{ a_0 = 1}\)
\(\displaystyle{ a_1=2}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_{n-1} +2a_{n-2} -2n +3}\) i jeszcze ta rekurencjaa dochodze do momentu ze \(\displaystyle{ G(x)=xG(x) +2x^2G(x)..}\)...i klops bo nie wiem jak ogarnąc f.tworzaca dla 2n i co zrobić z tą trójką, błagam o pomoc bo musze zaliczyć ten durny przedmiot.
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Funkcje tworzace

Post autor: xiikzodz »

Wzór bierze się stąd:

w przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \frac 1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n}\).

W tym przedziale szereg potęgowy po prawej jest zbieżny bezwzględnie, więc możemy różniczkować "wyraz po wyrazie":

\(\displaystyle{ \frac 1{(1-x)^2}=\left(\frac 1{1-x}\right)'=\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)'=\sum_{n=0}^\infty\left(x^n\right)'=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}}\).

Otrzymaliśmy więc:

\(\displaystyle{ \frac 1{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}}\)

Mnożymy powyższą równość stronami przez \(\displaystyle{ x}\):

\(\displaystyle{ \frac x{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty nx^n}\)

zatem funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac x{(1-x)^2}}\) jest z definicji funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n=n}\).
ODPOWIEDZ