Mam problem z taką funkcją tworzącą
\(\displaystyle{ L_0=1}\)
\(\displaystyle{ L_n = L_{n-1} + n}\)
dochodze do momentu gdzie w podreczniku jest napisane "Wykorzystujac fakt ze funkcja tworzaca ciagu g_n = n ma postac
\(\displaystyle{ g(x)= x* ( \frac{1}{1-x} )' = \frac{x}{(1-x)^2}}\) nie wiem skad sie bierze ten wzór
Jakby ktos mogl rozwiazac ta rekurencje byłbym wdzięczny.
\(\displaystyle{ a_0 = 1}\)
\(\displaystyle{ a_1=2}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_{n-1} +2a_{n-2} -2n +3}\) i jeszcze ta rekurencjaa dochodze do momentu ze \(\displaystyle{ G(x)=xG(x) +2x^2G(x)..}\)...i klops bo nie wiem jak ogarnąc f.tworzaca dla 2n i co zrobić z tą trójką, błagam o pomoc bo musze zaliczyć ten durny przedmiot.
Funkcje tworzace
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Funkcje tworzace
Wzór bierze się stąd:
w przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac 1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n}\).
W tym przedziale szereg potęgowy po prawej jest zbieżny bezwzględnie, więc możemy różniczkować "wyraz po wyrazie":
\(\displaystyle{ \frac 1{(1-x)^2}=\left(\frac 1{1-x}\right)'=\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)'=\sum_{n=0}^\infty\left(x^n\right)'=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}}\).
Otrzymaliśmy więc:
\(\displaystyle{ \frac 1{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}}\)
Mnożymy powyższą równość stronami przez \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ \frac x{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty nx^n}\)
zatem funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac x{(1-x)^2}}\) jest z definicji funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n=n}\).
w przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac 1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n}\).
W tym przedziale szereg potęgowy po prawej jest zbieżny bezwzględnie, więc możemy różniczkować "wyraz po wyrazie":
\(\displaystyle{ \frac 1{(1-x)^2}=\left(\frac 1{1-x}\right)'=\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)'=\sum_{n=0}^\infty\left(x^n\right)'=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}}\).
Otrzymaliśmy więc:
\(\displaystyle{ \frac 1{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}}\)
Mnożymy powyższą równość stronami przez \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ \frac x{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty nx^n}\)
zatem funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac x{(1-x)^2}}\) jest z definicji funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n=n}\).