Matematyka.pl

Musze udowodnic ze prawdziwe jest wyrazenie.

\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{\left\lfloor{x}\right\rfloor}{k} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{x}{k} \right\rfloor}\)

\(\displaystyle{ x,k \in Z}\) - calkowite

tak na oko x i k dowolne

ktoś może to rozpisac ?

Jeżeli \(\displaystyle{ x\in\mathbb{Z}}\) to nie ma czego dowodzić. Sprawdź dokładnie treść.

\(\displaystyle{ x}\) oczywiście może być dowolne.

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{\left\lfloor{x}\right\rfloor}{k} \right\rfloor =n \in \mathbb{Z}}\)
Wówczas z definicji mamy:
\(\displaystyle{ n\le \frac{\left\lfloor{x}\right\rfloor}{k}< n+1\\
kn\le \left\lfloor{x}\right\rfloor < kn+k}\)
To jednak jest równoważne (z własności 3.7 w Matematyce konkretnej lub z chwili zastanowienia ) :
\(\displaystyle{ kn\le x<kn+k}\)
czyli
\(\displaystyle{ n\le\frac xk<n+1}\)
a to z definicji znaczy, że:
\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{x}{k} \right\rfloor = n}\)
co kończy dowód równości.

Q.