równanie rekurencyjne funkcje tworzące

[johanneskate]

Rozwiązać równanie rekurencyjne przy pomocy funkcji tworzących:

a)\(\displaystyle{ a _{n}=3a _{n-1}-2a _{n-2}-1 \ dla \ n \ge 2 \ , \ a _{0}=1 \ , \ a _{1}=3}\)
b)\(\displaystyle{ a _{n}=5a _{n-1}-4a _{n-2} + 10 \cdot (-1) ^{n} , \ a _{0}= 5\ , \ a _{1}=15}\)

Znam ogólną zasadę robienia tego typu zadań. Jeśli zastosuję taki zapis, np. w drugim:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a _{n}x ^{n}=5+15x+5x \sum_{n=1}^{\infty}-4x ^{2} \sum_{n=0}^{\infty} +}\)

No i wlaśnie co tutaj dodam ? To samo w pierwszym, czy też mam problem z \(\displaystyle{ 2 ^{n-2}}\) w tym samym miejscu.

[kelu]

Domyślam się, że poradzisz sobie z resztą (jeśli nie to pisz), a masz problem z tym wyrażeniem 10*(-1)^n? Jeśli tak to już rozpisuje:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\left(10 \cdot (-1)^n \cdot x^n\right) = 10 \cdot \sum_{n=2}^{\infty}(-x)^n = 10 \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{n+2} = 10x^2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{n} = 10x^2 \cdot \frac{1}{1-(-x)} = \frac{10x^2}{1 + x}}\)
Myślę, że wiesz z jakiego wzoru tam przekształcenie.

Co do przykładu pierwszego to nie za bardzo rozumiem dlaczego wychodzi Ci tam \(\displaystyle{ 2^{n-2}}\)

A i w tym co podałeś to oczywiście powinno być \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a _{n}x ^{n}=5+15x+5x \sum_{n=1}^{\infty}a _{n}x ^{n}-4x ^{2} \sum_{n=0}^{\infty}a _{n}x ^{n} + ...}\)
Pamiętaj jednak, że tam gdzie masz sumę rozpoczynającą się od n=1 musisz to odpowiednio zamienić na n=0 (poprzez odjęcie zerowego elementu).

[johanneskate]

kelu, nie wychodzi mi tyle. To po prostu był taki trzeci przykład, że nie wiem co robić kiedy taki składnik w sumie będzie.

Dzięki za to pierwsze. A co będzie w 2 i 3?

[kelu]

A co będzie w 2 i 3?

Nie rozumiem pytania =P Przykładu a) nie rozwiązałem, ale jest prosty i myślę że już dasz radę, przykład b) to co było niezrozumiałe Ci chyba wyjaśniłem. Jeśli nie to powiedz czego nie kumasz, jak chcesz to mogę jutro opisać cały przykład bardziej szczegółowo, tylko teraz już trochę późno

Jak w sumie masz \(\displaystyle{ a^n}\) to korzystasz z tego samego wzorku co jak miałeś \(\displaystyle{ (-x)^n}\):

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^{m+1}} = \sum_{n=0}^{ \infty } {n + m \choose n} x^n}\)

Zauważ, że jak podstawisz za m=0 to wzór się bardzo uprości, dodatkowo pamiętaj, że x jest zmienną w tym wzorku i jest innym iksem niż ten x w zadaniu. Mam na myśli, że jeśli masz pod sumą \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } 2^nx^n}\) to masz tak na prawdę \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } (2x)^n}\) czyli to jest zgodnie ze wzorem równe \(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}}\)