\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^{2} \cdot 2^{i} =}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)^{2} \cdot 2^{i+1} =}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}(i+1)^{2} \cdot 2^{i+1} + 2 - (n+1)^{2} \cdot 2^{n+1}=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^{2} \cdot 2^{i+1} +
\sum_{i=1}^{n}2i \cdot 2^{i+1} +
\sum_{i=1}^{n}1 \cdot 2^{i+1}
+ 2 - (n+1)^{2} \cdot 2^{n+1}=}\)
\(\displaystyle{ 2\sum_{i=1}^{n}i^{2} \cdot 2^{i} +
4 \sum_{i=1}^{n}i \cdot 2^{i} +
2 \sum_{i=1}^{n}1 \cdot 2^{i}
+ 2 - (n+1)^{2} \cdot 2^{n+1}}\)
po lewej i po prawej mamy
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^{2} \cdot 2^{i}}\), więc odejmujemy te wyrażenia i przerzucamy wszystko na przeciwne strony, żeby nie było minusów:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^{2} \cdot 2^{i} =
(n+1)^{2} \cdot 2^{n+1} - 2 -
4 \sum_{i=1}^{n}i \cdot 2^{i} -
2 \sum_{i=1}^{n} 2^{i}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i \cdot 2^{i}}\) liczymy analogicznie, powinno wyjść:
\(\displaystyle{ 2^{n+1}(n-1)+2}\)
i podstawiamy.
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} 2^{i}}\) to suma ciągu geometrycznego z
\(\displaystyle{ a_{1}=2}\) i
\(\displaystyle{ q=2}\). Liczymy ją ze wzoru i też podstawiamy to naszego równania.
-- 5 września 2011, 16:24 --
A tą drugą sumę możesz rozbić na dwie sumy: suma kwadratów liczb parzystych i nieparzystych.
Nieparzyste kwadraty będą z minusami, a parzyste z plusami, więc:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i} \cdot i^{2} = \sum_{i=1}^{x}(2i)^{2} - \sum_{i=1}^{x} (2i-1)^{2}}\)
gdzie x to podłoga/sufit z
\(\displaystyle{ n/2}\), zależnie od parzystości n, o ile się nie pomyliłem.
Jak obliczyć sumę kwadratów liczb?