Potrójna suma - pewnie podstawy

[damian9120]

Witam,

proszę o pomoc w łopatologicznym wytłumaczeniu dlaczego suma tego szeregu tyle wynosi.
Mam egzamin z ASD, nigdzie mi się to nie przyda, no ale musze zdać

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}\sum_{k=i}^{j}1 = \frac{1}{6} (n^3+3 n^2+2 n)}\)

nie bijcie jeśli to są podstawy, bo pewnie są.

[szw1710]

\(\displaystyle{ \sum_{k=i}^{j}1=j-i+1,}\) więc

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}\sum_{k=i}^{j}1=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}(j-i+1)}\)

Spróbuj podążać tym tropem dalej rozpisując tę sumę, biorąc pod uwagę sume ciągu arytmetycznego typu \(\displaystyle{ i+(i+1)+\dots+n}\), być może sumę kwadratów liczb naturalnych itp.

[Qń]

Można na przykład zacząć od przekształcenia:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}\sum_{k=i}^{j}1=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{j}\sum_{i=1}^{k}1}\)
i następnie liczyć sumy począwszy od wewnętrznej.

Q.

[damian9120]

Dzięki za szybką odpowiedź. Ech, sumy, szeregi, tu sigma i tu sigma... Teraz sobie raczej poradzę.

-- 5 wrz 2011, o 15:13 --

Jednak dalej nie ruszę. Doszedłem do tego, co dalej?:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{(n-i+2)(n-i+1)}{2} = \sum_{i=1}^{n} \frac{(i+1)i}{2}}\)

Czy ten sposób jest dobry i wystarczający aby rozwiązywać sumy?:

Proszę o naprowadzenie, jak w ogóle zabierać się za takie zadania.-- 5 wrz 2011, o 16:13 --Dobra, jakoś dałem rade, ale nie było łatwo.

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{(i+1)i}{2} = \sum_{i=1}^{n} ( \frac{1}{2}i^2 + \frac{1}{2}i ) =
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}i^2 + \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}i = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} i^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}i = \frac{1}{2} \frac{n(n+1)(2n+2)}{6} + \frac{1}{2} \frac{n(n+1)}{2} = \frac{1}{6}(n^3 + 3n^2 + 2n)}\)

Ten wykład mi się baardzo przydał:
no i oczywiście wiki: [url=http://pl.wikipedia.org/wiki/Dodawanie#Wzory_sumacyjne]LINK[/url]