Funkcja tworzaca ciagu:

[PAV38]

Mam ciąg:
\(\displaystyle{ a_{0}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=5}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=11}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=3a_{n-1}+2a_{n-2}-2a_{n-3}}\)

Mam policzyć funkcję tworzącą.
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}=1+5x+11x^{2}+\sum_{n=3}^{+ \infty }a_{n}x^{n}=1+5x+11x^{2}+\sum_{n=3}^{+ \infty }3a_{n-1}+2a_{n-2}-2a_{n-3}x^{n}=1+5x+11x^{2}+3x\sum_{n=2}^{+ \infty }a_{n}x^{n}+2x^{2}\sum_{n=1}^{+ \infty }a_{n}x^{n}+2x^{3}\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}=...}\)

I dotąd jest wszystko jasne, a schody pojawiają się tutaj:
\(\displaystyle{ ...=1+2x-6x^{2}+3x\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}+2x^{2}\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}+2x^{3}\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}=}\)

Czemu wg. odpowiedzi nagle jest: \(\displaystyle{ 1+2x-6x^{2}}\) ?

Jak przerobić sumowanie od 3 do + nieskończoności, na sumowanie od 0 do +nieskończoności itd?
Nie będzie tak:
\(\displaystyle{ 2x^{2}\sum_{n=1}^{+ \infty }a_{n}x^{n}=2x^{2}\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}-a_{0}}\)?
\(\displaystyle{ 3x\sum_{n=2}^{+ \infty }a_{n}x^{n}=3x\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}-2a_{0}}\)?

Bardzo proszę o pomoc

[abc666]

\(\displaystyle{ 2x^{2}\sum_{n=1}^{+ \infty }a_{n}x^{n}=2x^{2}\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}-2x^2a_{0}}\)

A skoro \(\displaystyle{ a_{0}=1}\) to mamy \(\displaystyle{ ...-2x^2}\)

Podobnie z innymi i po uporządkowaniu ci powinno wyjść tak jak w odpowiedziach.

[PAV38]

Mógłbym prosić o rozpisanie całego przykładu? Bo tak też próbowałem i nie wychodzi coś. Przykład jest ze strony Ważniaka, więc błędu w nim raczej nie ma.

[abc666]

\(\displaystyle{ 1+5x+11x^{2}+3x\sum_{n=2}^{+ \infty }a_{n}x^{n}+2x^{2}\sum_{n=1}^{+ \infty }a_{n}x^{n}+2x^{3}\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}=1+5x+11x^{2}+3x\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}-3xa_{0}-3x^2a_{1}+2x^{2}\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n} - 2x^2a_{0}+2x^{3}\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}=\\
1+5x+11x^{2}+3x\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}-3x-15x^2+2x^{2}\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n} - 2x^2+2x^{3}\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}=\\1+2x-6x^{2}+3x\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}+2x^{2}\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}+2x^{3}\sum_{n=0}^{+ \infty }a_{n}x^{n}}\)

[kameleon99]

Troche stary temat wiec przepraszam ze odkopuje,
ale jak moge poznac jaki jest wzor jawny tej rekurencji dzieki tej funkcji tworzacej?
Prosibym o rozpisanie takie powoi tak jak powyzej zebym mogl to zrozumiec. Z gory dziekuje ;]

[Vardamir]

Rozumiem, że wyznaczyłeś funkcję. Pokaż jaka Ci wyszła.

Jeśli masz już funkcję tworzącą to wystarczy rozwinąć ją w szereg potęgowy i porównać współczynniki przy \(\displaystyle{ x^n}\).