rozróżnialne i nierozróżnialne słodycze

MiNI2011 · Post autor: **MiNI2011** » 1 wrz 2011, o 19:00

Witam! Jestem nowa na forum:) ale mam wielki problem z zadaniem, które nie daje mi spokoju.

Asia kupiła 20 pączków i 8 ciastek. Pączki są nierozróżnialne między sobą, a ciastka są odróżnialne. Zliczyć na ile sposobów Asia może rozdać słodycze swoim 6 rozróżnialnym znajomym przy założeniu, że każdy dostaje co najmniej 1 pączka.

Byłabym bardzo wdzięczna za wszelkie wskazówki.

-- 1 wrz 2011, o 19:38 --

Czy to na ile sposobów Asia może rozdać pączki mogę policzyć z zasady włączeń i wyłączeń, tzn od \(\displaystyle{ 6^{20}}\) odejmuje przypadki kiedy dokładnie jedna osoba nie dostaje pączka, dokładnie dwie osoby nie dostają pączka itd?

A to na ile sposobów może rozdać ciastka to \(\displaystyle{ k}\) kombinacje z powtórzeniami z \(\displaystyle{ n}\) elementowego zbioru, gdzie \(\displaystyle{ k=8}\) i \(\displaystyle{ n=6}\)?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 1 wrz 2011, o 21:36

Nie wiem co wyjdzie z zasady włączeń i wyłączeń, ale ja bym podszedł do tego tak: Wszystkich możliwości jest tyle, ile jest rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych dodatnich równania
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=20}\) (każda zmienna - liczba pączków dla danej osoby)
a jak się liczy takie rzeczy znajdziesz tu: ... dwumianowe

A co do ciastek to może zamiast ludziom przypisywać ciastka to ciastkom przypisywać ludzi, bo w końcu każde ciasto do kogoś trafi, a nie każdy musi jakieś ciastko otrzymać

MiNI2011 · Post autor: **MiNI2011** » 1 wrz 2011, o 22:38

Czyli Asia może rozdać pączki na \(\displaystyle{ {19\choose 5}}\) sposobów, tak?
A ciastka na \(\displaystyle{ 6^{8}}\) sposobów?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 1 wrz 2011, o 23:25

Tak by wychodziło (teraz widzę, że w tym linku jest przykład z podziałem, co nawet bardziej pasuje do pączków).

MiNI2011 · Post autor: **MiNI2011** » 2 wrz 2011, o 10:04

Lorek, dziękuję za pomoc!!