ciąg dany rekurencyjnie - jawna postać

[rodzyn7773]

Mamy ciąg określony wzorem:
\(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}-3 \cdot a_{n-2}-3^{n-1}+3 \cdot 2^{n-2} \ \ n \ge 2 \ , \ a_0=0 \ , \ a_1=1}\)
Metodą funkcji tworzących:
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_n \cdot x^n=a_0+a_1 \cdot x+ \sum_{n=2}^{ \infty } a_n \cdot x^n = \\ x+ \sum_{n=2}^{ \infty } (a_{n-1}-3 \cdot a_{n-2}-3^{n-1}+3 \cdot 2^{n-2}) \cdot x^n= \\ x+ \sum_{n=2}^{ \infty } a_{n-1} \cdot x^n-3 \cdot \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-2} \cdot x^n-\sum_{n=2}^{ \infty }3^{n-1} \cdot x^n+3 \cdot \sum_{n=2}^{ \infty }2^{n-2} \cdot x^n=\\x+x \cdot \sum_{n=2}^{ \infty } a_{n-1} \cdot x^{n-1}-3 \cdot x^2 \cdot \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-2} \cdot x^{n-2}- \frac{1}{3} \cdot \sum_{n=2}^{ \infty }3^{n} \cdot x^n+3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sum_{n=2}^{ \infty }2^{n} \cdot x^n= \\ x+x \cdot \underbrace{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n \cdot x^n }_{f(x)}-3x^2 \cdot \underbrace{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_n \cdot x^n }_{f(x)}- \frac{1}{3} \cdot \underbrace{ \sum_{n=2}^{ \infty }(3x)^n }_{suma \ ciagu \ geometrycznego}+ \frac{3}{4} \cdot \underbrace{ \sum_{n=2}^{ \infty }(2x)^n }_{suma \ ciagu \ geometrycznego}=x+x \cdot f(x)-3x^2 \cdot f(x)- \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x)^2}{1-3x}+ \frac{3}{4} \cdot \frac{(2x)^2}{1-2x}}\)

Z tego wyznaczam f(x), zapisuje ze znaczkiem sumy a wyraz stojący przy \(\displaystyle{ x^n}\) to \(\displaystyle{ a_n}\)

[Rogal]

No super spoko fajnie, ładnie umiesz rozwiązywać - tylko po co to zamieszczać?

[rodzyn7773]

Chciałem się pochwalić. Miałem swoje powody to wstawiłem.

[kelu]

I bardzo dobrze, że zamieścił, sam chciałem coś takiego napisać dla znajomego a tylko mnie wyręczył

Swoją drogą skoro już tak dokładnie rozwiązałeś to mógłbyś wyjaśnić dlaczego ten szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_nx^n}\) jest równy f(x) mimo, że zaczyna się od n=1, a nie n=0. Tzn, jest to dość oczywiste, ale czasem zdarzają się przypadki, gdzie \(\displaystyle{ a_0}\) nie jest równe 0 i wtedy trzeba odjąć itp itd...