Mamy zadany wzór na liczby Bernoulliego:
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{m} {m+1 \choose j} B_{j} = \left[ m=0\right]}\)
Nie bardzo wiem jak na tej podstawie znaleźć wykładniczą funkcję tworzącą. Próbowałem coś przekształcić współczynnik dwumianowy, ale bez efektu.
Wynikiem ma być: \(\displaystyle{ \frac{z}{e^z+1}}\)
Wykładnicza funkcja tworząca liczb Bernoulliego
-
Heniek1991
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 14 paź 2010, o 16:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin / Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
-
King James
- Użytkownik
- Posty: 150
- Rejestracja: 19 kwie 2007, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biłgoraj/Kraków
- Pomógł: 39 razy
Wykładnicza funkcja tworząca liczb Bernoulliego
Zwykły splot, przekształćmy rekurencję
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^m {m \choose i} B_{m-i} = B_m + [m=1]}\)
\(\displaystyle{ B(z) = \sum_{m \geq 0} \frac{B_m z^m}{m!}}\)
\(\displaystyle{ B(z) + z = \sum_{m \geq 0} \sum_{i=0}^m {m \choose i} B_{m-i} \frac{z^m}{m!}
= \sum_{m \geq 0} z^m \sum_{i=0}^m \frac{1}{i!} \cdot \frac{B_{m-i}}{(m-i)!} = e^z \cdot B(z)}\)
\(\displaystyle{ B(z) = \frac{z}{e^z-1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^m {m \choose i} B_{m-i} = B_m + [m=1]}\)
\(\displaystyle{ B(z) = \sum_{m \geq 0} \frac{B_m z^m}{m!}}\)
\(\displaystyle{ B(z) + z = \sum_{m \geq 0} \sum_{i=0}^m {m \choose i} B_{m-i} \frac{z^m}{m!}
= \sum_{m \geq 0} z^m \sum_{i=0}^m \frac{1}{i!} \cdot \frac{B_{m-i}}{(m-i)!} = e^z \cdot B(z)}\)
\(\displaystyle{ B(z) = \frac{z}{e^z-1}}\)