Szacowanie ciągu

[Heniek1991]

Mam problem z zadaniem: Niech ciąg będzie zdefiniowany w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=2\\ a_{n+1}=a_{n}(a_{n}+1)\end{cases}}\)

Pokaż, że \(\displaystyle{ \log \left( \log \left( a_{n} \right) \right) = \Theta (n)}\)

Próbowałem dwa razy zlogarytmować i potem jakoś wykorzystywać wzór taylora na logarytm, ale nie wychodzi.

[frej]

Logarytmujemy i dość grubo szacując mamy:
\(\displaystyle{ 2\ln a_n \le \ln a_n + \ln (a_n +1) = \ln a_{n+1} = \ln a_n + \ln (a_n +1)\le \ln a_n + \ln (e \cdot a_n) = 1+ 2\ln a_n \le 4\ln a_n}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ b_n=\ln a_n}\) mamy \(\displaystyle{ 2 b_n \le b_{n+1} \le 4 b_n}\) i trzeba pokazać \(\displaystyle{ \ln (b_n) = \Theta (n)}\).
No to liczymy
\(\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_1} = \frac{b_{n+1}}{b_n} \cdot \frac{b_n}{b_{n-1}} \cdot \ldots \cdot \frac{b_2}{b_1}}\)
i szacujemy każdy czynnik z góry przez \(\displaystyle{ 4}\), z dołu przez \(\displaystyle{ 2}\) i mamy zatem
\(\displaystyle{ b_1 \cdot 2^{n-1} \le b_n \le b_1 \cdot 4^{n-1}}\)
i teraz wystarczy zlogarytmować.

[MichalKulis]

\(\displaystyle{ 2\ln a_n \le \ln a_n + \ln (a_n +1) = \ln a_{n+1}}\)

jakim cudem?

ah, dobra już widzę ten mały skrót myślowy;)