liczby 9-cyfrowe

[mala_mi]

Ile jest liczb 9-cyfrowych o parzystej sumie cyfr?

[miodzio1988]

Ile jest liczb 9-cyfrowych o parzystej sumie cyfr?

Nieparzysta to jakie liczby możesz mieć na końcu ( cyfry jedności ) ?

[mala_mi]

Nieparzysta? 1,3,5,7,9

Tylko tu ma być suma cyfr, a nie liczba parzysta/nieparzysta.

[miodzio1988]

Nie przeczytałem do końca Nice. Sorry.

No to jak to jest? Jak takie sumy będą się tworzyć

[mala_mi]

Wywnioskowałam, że suma będzie parzysta gdy będą:
- wszystkie cyfry parzyste albo
- jedna cyfra parzysta i 8 nieparzystych
- 3 cyfry parzyste i 6 nieparzystych
- 5 cyfr parzystych i 4 nieparzyste
- 7 cyfr parzystych i 3 nieparzyste

Tak?

I wtedy takie obliczenia:
\(\displaystyle{ 4 \cdot 5^{8} +5 \cdot 5^{8}+ 5^{3} \cdot 5^{6} + 5^{5} \cdot 5^{4} +5 ^{7} \cdot 5 ^{2}\)

Mam nadzieję, że nie namieszałam za bardzo

[aalmond]

Wywnioskowałaś dobrze (wkradła się tylko literówka). Z obliczeniami gorzej. Musisz uwzględnić wszystkie kombinacje miejsc liczb parzystych i nieparzystych.

[mala_mi]

Niestety nie bardzo wiem o co chodzi, mógłbyś jaśniej? Byłabym wdzięczna :>

[aalmond]

Np. ten przypadek: 3 parzyste i 6 nieparzystych.
Ilość takich liczb to:
\(\displaystyle{ \frac{3}{9} \cdot {9\choose 3} \cdot 4 \cdot 5 ^{8} + \frac{6}{9} \cdot {9\choose 3} \cdot 5 ^{9}}\)

[abc666]

Można też trochę inaczej:
Połowa sum jest parzysta. Wystarczy więc podzielić ilość wszystkich liczb 9 cyfrowych na dwa. Można banalnie dowieść przez indukcję.

[mala_mi]

abc666, ogromne dzięki!

[frej]

Nie chce mi się liczyć, ale nie jestem pewny, czy tych liczb jest dokładnie połowa, gdyż na pierwszym miejscu nie może występować zero. i gdybyśmy chcieli wskazać jakąś bijekcję, przykładowo zmieniamy wszystkie cyfry \(\displaystyle{ x \mapsto (9-x)}\) to na pierwszym miejscu będzie problem.

[abc666]

Dostawiamy z prawej strony. Przez \(\displaystyle{ p_k}\) oznaczmy liczbę liczb z sumą parzystą, przez \(\displaystyle{ n_k}\) z nieparzystą (długości \(\displaystyle{ k}\)). Żeby dostać liczbę parzystą z \(\displaystyle{ (k+1)}\) cyframi możemy dostawić jedną z cyfr \(\displaystyle{ \{0,2,4,6,8\}}\) do parzystej długości k lub jedną z cyfr \(\displaystyle{ \{1,3,5,7,9\}}\) do nieparzystej długości k. Stąd \(\displaystyle{ p_{k+1}=5p_{k}+5n_{k}}\). Analogicznie dostajemy, że \(\displaystyle{ n_{k+1}=5p_{k}+5n_{k}}\). Dodatkowo \(\displaystyle{ p_2=k_2}\), skąd, jak widać, \(\displaystyle{ p_{k}=n_{k}}\).

edit
frej, zauważ, że wystarczy wtedy zamienić te początkowe zera na dziewiątki i wszystko jest ok. Tzn np. 03 -> 93, 005 -> 905

[aalmond]

Policzyłem tą metodą, której 'próbkę' podałem wyżej. Jest ich dokładnie 450 000 000. Czyli połowa.

[mala_mi]

aalmond, w takim razie dzięki za sprawdzenie