Funkcja tworząca i postać jawna ciągu

[janusz47]

Dla warunków początkowych \(\displaystyle{ a_{0} = 0, \ a_{1} = 1}\) rachunki są prawidłowe.

[Qń]

Pomijam już fakt, że takich warunków nie ma ani dla funkcji tworzącej ani dla rekurencji z pierwszego postu, ale nawet z takimi warunkami w tym rachunku roi się od błędów (i to nie tylko literówek).

Kluczowa sprawa odnośnie błędu w samym wyniku: funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n=n}\) jest \(\displaystyle{ A(x)=\frac{x}{(1-x)^2}}\).

Q.

[janusz47]

Funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ ( a_{n}) = (n) = (1,2,3,...)}\)
jest \(\displaystyle{ A(x) = \frac{1}{(1-x)^2}.}\)

[Qń]

Funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ ( a_{n}) = (n) = (1,2,3,...)}\)
jest \(\displaystyle{ A(x) = \frac{1}{(1-x)^2}.}\)

Ciąg \(\displaystyle{ a_n=n}\) to \(\displaystyle{ (0,1,2,3,\ldots )}\) bowiem numerowanie ciągu zaczynamy od \(\displaystyle{ a_0}\). Natomiast funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n=n+1}\) czyli ciągu \(\displaystyle{ (1,2,3,4,\ldots )}\) jest właśnie \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^2}}\).

Inaczej mówiąc:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n=\frac{1}{(x-1)^2}\\
\sum_{n=0}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(x-1)^2}}\)

Prześledź jeszcze raz swoje rachunki, pierwszy błąd jest już w drugiej równości.

Q.