Kombinatoryka, układanie liczb

[PAV38]

Z cyfr \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,7,8}\) tworzymy liczby sześciocyfrowe. Ile można ułożyć takich liczb, w których cyfra \(\displaystyle{ 1}\) występuje co najmniej trzy razy, a pozostałe cyfry są różne między sobą?

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ I}\) przypadek: cyfra 1 występuje 3 razy:

\(\displaystyle{ {6 \choose 3} \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5=20\cdot7\cdot6\cdot5=4200}\)

20 możliwości ustawienia trzech jedynek na sześciu miejscach, razy pozostałe cyfry do wyboru

\(\displaystyle{ II}\) przypadek: cyfra 1 występuje 4 razy:

\(\displaystyle{ {6 \choose 4} \cdot 7 \cdot 6=15\cdot7\cdot6=630}\)

15 możliwości ustawienia czterech jedynek na sześciu miejscach, razy pozostałe cyfry do wyboru

\(\displaystyle{ III}\) przypadek: cyfra 1 występuje 5 razy:

\(\displaystyle{ {6 \choose 5} \cdot 7=42}\)

6 możliwości ustawienia pięciu jedynek na sześciu miejscach, razy pozostała cyfra do wyboru

\(\displaystyle{ IV}\) przypadek: cyfra 1 występuje 6 razy:
Taka liczba jest po prostu jedna: 11111

Łącznie: \(\displaystyle{ 4200+630+42+1=4873}\) takich możliwości.

W odpowiedzi mam: \(\displaystyle{ 7638}\) możliwości.

Co robię źle?

[mkacz]

Hmm... Wybierasz tylko miejsca dla jedynek, a gdzie pozostałe cyfry?-- 1 sie 2011, o 23:28 --Chwila moment - dobrze jest moim zdaniem. Tak to jest jak się czyta "na szybko"...