Funkcje generujące i wzór jawny

[bartek118]

Znaleźć funkcję generującą, prostszą rekurencję i wzór jawny podanych ciągów:

a) \(\displaystyle{ a_{n}= \sum_{i=0}^{n-1}a_{i} + 1}\)
b) \(\displaystyle{ b_{n}= \sum_{i=0}^{n-1}\left( n-i\right) b_{i} + 1}\)
c) \(\displaystyle{ c_{n}= \sum_{i=0}^{n-1}2^{n-i-1}c_{i} + 1}\)-- 28 lip 2011, o 19:16 --Nikt nie pomoże...?

[octahedron]

Ten wzór wygląda tak:

\(\displaystyle{ a_{n}= \left( \sum_{i=0}^{n-1}a_{i}\right) + 1}\)

czy tak:

\(\displaystyle{ a_{n}= \sum_{i=0}^{n-1}\left( a_{i} + 1\right)}\)

Tak samo mam wątpliwości przy pozostałych wzorach

[bartek118]

Jedynka jest poza sumowaniem, tj. \(\displaystyle{ a_{n}= \left( \sum_{i=0}^{n-1}a_{i}\right) + 1}\)

[Mtt-Mmt]

O, hej.
Patrząc na punkt a), podejrzewam, że nie robiłeś jeszcze takiej sumy.
W celu uproszczenia pierwszej rekurencji polecam z zadanej definicji policzyć \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n}}\).
Mam nadzieję, że pozostałe po odrobinie łamania głowy też uda się złamać analogicznie.
Pozdrawiam,
Mamut

----
edit: W przypadku użycia funkcji tworzących, zmieniałem sobie kolejności sumowania jak mi się podobało (tzn. naciągając, ale może i poprawnie), aż wyszła mi równość:
\(\displaystyle{ \mathcal{A} = \frac{ a_0 - a_0T + T}{1 - 2T}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{A} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n T^n}\).
Wtedy ze stwierdzenia, że mianownik daje nam odpowiedni wielomian charakterystyczny lub po prostu z rozpisania \(\displaystyle{ n}\)-tego wyrazu według wzoru \(\displaystyle{ \big(1 - 2T\big)\mathcal{A} = \big(1 - T\big) a_0 + T}\) otrzymujemy uproszczoną wersję rekurencji a).
Na wykładzie z dyskretnej podobne przekształcenia (tzn. zmiany kolejności sum, których tu nie pokazałem; pomijanie aspektów zbieżności itd.) były używane z głęboką wiarą w ich poprawność, zatem jakby ktoś mógł wskazać dokładną i ortodoksyjną wersję rozwiązania, to sam byłbym wdzięczny.

edit: Poprawiłem tam sumę, która była przecież do policzenia.

[Qń]

Wskazówka: w każdym przykładzie suma jest splotem dwóch ciągów, z których jeden to szukany, a drugi ma znaną funkcję tworzącą (łatwo policzalną). A funkcja tworząca splotu to iloczyn funkcji tworzących.

Q.

[Mtt-Mmt]

Podoba mi się bardzo przyuważenie splotów. Zadanie rozwiązuje się, niespodziewanie dla mnie, szybko i przyjemnie.