Ile jest naturalnych rozwiązan równania
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 40}\)
spełniających nierówność \(\displaystyle{ 0 \le x _{i} \le 9}\)
Pomoże ktoś ? \(\displaystyle{ {40 \choose 9}}\) ?
Ile jest naturalnych rozwiązan równania
-
pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Ile jest naturalnych rozwiązan równania
259120.htm
tu jest jeden odnośnik, w nim jest następny i tam znajdziesz...
-- 22 lip 2011, o 18:58 --
Tutaj się pospieszyłem z tym rozwiązaniem, gdyby chodziło o naturalne, to \(\displaystyle{ {44\choose 4}}\). Natomiast te ograniczenie z góry robi pewne komplikacje. Póki co nic sprytnego nie przychodzi mi do głowy. Ale jeszcze posiedzę nad tym.-- 22 lip 2011, o 19:19 --Ważniejsze jest tu ograniczenie z góry także równanie trzeba przekształcić:
\(\displaystyle{ 45-(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=45-40\\
9-x_1+9-x_2+9-x_3+9-x_4+9-x_5=5\\
y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=5}\)
Tak więc rozwiązań mamy \(\displaystyle{ {{5+5-1}\choose {5-1}}={9\choose 4}}\). Rozwiązania do końca pewny nie jestem. Być może coś przeoczyłem...
tu jest jeden odnośnik, w nim jest następny i tam znajdziesz...
-- 22 lip 2011, o 18:58 --
Tutaj się pospieszyłem z tym rozwiązaniem, gdyby chodziło o naturalne, to \(\displaystyle{ {44\choose 4}}\). Natomiast te ograniczenie z góry robi pewne komplikacje. Póki co nic sprytnego nie przychodzi mi do głowy. Ale jeszcze posiedzę nad tym.-- 22 lip 2011, o 19:19 --Ważniejsze jest tu ograniczenie z góry także równanie trzeba przekształcić:
\(\displaystyle{ 45-(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=45-40\\
9-x_1+9-x_2+9-x_3+9-x_4+9-x_5=5\\
y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=5}\)
Tak więc rozwiązań mamy \(\displaystyle{ {{5+5-1}\choose {5-1}}={9\choose 4}}\). Rozwiązania do końca pewny nie jestem. Być może coś przeoczyłem...
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Ile jest naturalnych rozwiązan równania
Owszem męczące trochę, ale nie idzie tak źle.
Niech \(\displaystyle{ A}\) - zbiór wszystkich rozwiązań.
i niech \(\displaystyle{ A_{i}}\) - zbiór rozwiązań, które jest złe na i-tej pozycji, tj. \(\displaystyle{ x_{i}>9}\).
Wtedy ilość poszukiwanych przez nas rozwiązań to
\(\displaystyle{ \left| A \setminus \bigcup_{i=1}^{5} A_{i} \right| = \left| A\right| - \left| \bigcup_{i=1}^{5} A_{i} \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| A\right| = {44\choose 4}}\)
To teraz liczymy
\(\displaystyle{ \left| \bigcup_{i=1}^{5} A_{i} \right| = \left| A_{1} \right| + ... + \left| A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4} \cap A_{5} \right|}\)
Ale zauważmy, że \(\displaystyle{ \left| A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4} \cap A_{5} \right|=0}\)
Oraz \(\displaystyle{ \left| A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k} \cap A_{l}\right| = 1}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \left| \bigcup_{i=1}^{5} A_{i} \right| = \left| A_{1} \right| + ... + \left| A_{3} \cap A_{4} \cap A_{5}\right| - 5}\)
Liczymy dalej:
\(\displaystyle{ \left| A_{i} \right| = \left| \left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) , x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} = 40 \wedge x_{i} \ge 10 \right\} \right|=}\)\(\displaystyle{ =\left| \left\{ \left(y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}, y_{5} \right) , y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}= 30 \wedge y_{i}=x_{i}-10 \right\} \right| = {34\choose 4}}\)
W analogiczny sposób przesuwamy przekroje po dwa i trzy zbiory:
\(\displaystyle{ \left| A_{i} \cap A_{j} \right| = {24\choose 4}}\)
\(\displaystyle{ \left| A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k} \right| = {14\choose 4}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \left| \bigcup_{i=1}^{5} A_{i} \right| = {5\choose 1}{34\choose 4} - {5\choose 2}{24\choose 4} + {5\choose 3}{14\choose 4} - 5}\)
Czyli rozwiązanie to \(\displaystyle{ {44\choose 4} - \left( {5\choose 1}{34\choose 4} - {5\choose 2}{24\choose 4} + {5\choose 3}{14\choose 4} - 5 \right)}\)
Niech \(\displaystyle{ A}\) - zbiór wszystkich rozwiązań.
i niech \(\displaystyle{ A_{i}}\) - zbiór rozwiązań, które jest złe na i-tej pozycji, tj. \(\displaystyle{ x_{i}>9}\).
Wtedy ilość poszukiwanych przez nas rozwiązań to
\(\displaystyle{ \left| A \setminus \bigcup_{i=1}^{5} A_{i} \right| = \left| A\right| - \left| \bigcup_{i=1}^{5} A_{i} \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| A\right| = {44\choose 4}}\)
To teraz liczymy
\(\displaystyle{ \left| \bigcup_{i=1}^{5} A_{i} \right| = \left| A_{1} \right| + ... + \left| A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4} \cap A_{5} \right|}\)
Ale zauważmy, że \(\displaystyle{ \left| A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4} \cap A_{5} \right|=0}\)
Oraz \(\displaystyle{ \left| A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k} \cap A_{l}\right| = 1}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \left| \bigcup_{i=1}^{5} A_{i} \right| = \left| A_{1} \right| + ... + \left| A_{3} \cap A_{4} \cap A_{5}\right| - 5}\)
Liczymy dalej:
\(\displaystyle{ \left| A_{i} \right| = \left| \left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) , x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} = 40 \wedge x_{i} \ge 10 \right\} \right|=}\)\(\displaystyle{ =\left| \left\{ \left(y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}, y_{5} \right) , y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}= 30 \wedge y_{i}=x_{i}-10 \right\} \right| = {34\choose 4}}\)
W analogiczny sposób przesuwamy przekroje po dwa i trzy zbiory:
\(\displaystyle{ \left| A_{i} \cap A_{j} \right| = {24\choose 4}}\)
\(\displaystyle{ \left| A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k} \right| = {14\choose 4}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \left| \bigcup_{i=1}^{5} A_{i} \right| = {5\choose 1}{34\choose 4} - {5\choose 2}{24\choose 4} + {5\choose 3}{14\choose 4} - 5}\)
Czyli rozwiązanie to \(\displaystyle{ {44\choose 4} - \left( {5\choose 1}{34\choose 4} - {5\choose 2}{24\choose 4} + {5\choose 3}{14\choose 4} - 5 \right)}\)
-
pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Ile jest naturalnych rozwiązan równania
No i fajnie, pozwoliło mi to upewnić się, że mój sposób jest poprawny. Dane w tym przypadku celowo zostały dobrane, żeby można było skorzystać z mojego sposobu. Gdybyśmy mieli ograniczenie do 11, to już pozostałaby reguła włączania i wyłączania.
Otrzymalibyśmy takie równanie:
\(\displaystyle{ 11-x_1+...+11-x_5=15}\)
Co dopuszczałoby możliwości typu \(\displaystyle{ y_1=15 \Rightarrow x_1=-4}\).
Otrzymalibyśmy takie równanie:
\(\displaystyle{ 11-x_1+...+11-x_5=15}\)
Co dopuszczałoby możliwości typu \(\displaystyle{ y_1=15 \Rightarrow x_1=-4}\).
-
Xitami
Ile jest naturalnych rozwiązan równania
\(\displaystyle{ \left( \sum_{i=0}^{9}x^i\right)^5=x^{45}
+ 5 x^{44}
+ 15 x^{43}
+ 35 x^{42}
+ 70 x^{41}
+ 126 x^{40}
+ 210 x^{39}
+ 330 x^{38}
+ 495 x^{37}
+ 715 x^{36}
+ 996 x^{35}
+ 1340 x^{34}
+ 1745 x^{33}
+ 2205 x^{32}
+ 2710 x^{31}
+ 3246 x^{30}
+ 3795 x^{29}
+ 4335 x^{28}
+ 4840 x^{27}
+ 5280 x^{26}
+ 5631 x^{25}
+ 5875 x^{24}
+ 6000 x^{23}
+ 6000 x^{22}
+ 5875 x^{21}
+ 5631 x^{20}
+ 5280 x^{19}
+ 4840 x^{18}
+ 4335 x^{17}
+ 3795 x^{16}
+ 3246 x^{15}
+ 2710 x^{14}
+ 2205 x^{13}
+ 1745 x^{12}
+ 1340 x^{11}
+ 996 x^{10}
+ 715 x^9
+ 495 x^8
+ 330 x^7
+ 210 x^6
+ 126 x^5
+ 70 x^4
+ 35 x^3
+ 15 x^2
+ 5 x
+ 1\\\\}\)
=
\(\displaystyle{ \\\\{1 \choose 1}+
{5 \choose 1}x^{1}+
{6 \choose 2}x^{2}+
{7 \choose 3}x^{3}+
{8 \choose 4}x^{4}+
{9 \choose 4}x^{5}+
{10 \choose 4}x^{6}+
{11 \choose 4}x^{7}+
{12 \choose 4}x^{8}+
{13 \choose 4}x^{9}+
{996 \choose 1}x^{10}+
{1340 \choose 1}x^{11}+
{1745 \choose 1}x^{12}+
{2205 \choose 1}x^{13}+
{2710 \choose 1}x^{14}+
{3246 \choose 1}x^{15}+
{3795 \choose 1}x^{16}+
{4335 \choose 1}x^{17}+
{4840 \choose 1}x^{18}+
{5280 \choose 1}x^{19}+
{5631 \choose 1}x^{20}+
{5875 \choose 1}x^{21}+
{6000 \choose 1}x^{22}+
{6000 \choose 1}x^{23}+
{5875 \choose 1}x^{24}+
{5631 \choose 1}x^{25}+
{5280 \choose 1}x^{26}+
{4840 \choose 1}x^{27}+
{4335 \choose 1}x^{28}+
{3795 \choose 1}x^{29}+
{3246 \choose 1}x^{30}+
{2710 \choose 1}x^{31}+
{2205 \choose 1}x^{32}+
{1745 \choose 1}x^{33}+
{1340 \choose 1}x^{34}+
{996 \choose 1}x^{35}+
{13 \choose 4}x^{36}+
{12 \choose 4}x^{37}+
{11 \choose 4}x^{38}+
{10 \choose 4}x^{39}+
{9 \choose 4}x^{40}+
{8 \choose 4}x^{41}+
{7 \choose 3}x^{42}+
{6 \choose 2}x^{43}+
{5 \choose 1}x^{44}+
{1 \choose 1}x^{45}}\)
+ 5 x^{44}
+ 15 x^{43}
+ 35 x^{42}
+ 70 x^{41}
+ 126 x^{40}
+ 210 x^{39}
+ 330 x^{38}
+ 495 x^{37}
+ 715 x^{36}
+ 996 x^{35}
+ 1340 x^{34}
+ 1745 x^{33}
+ 2205 x^{32}
+ 2710 x^{31}
+ 3246 x^{30}
+ 3795 x^{29}
+ 4335 x^{28}
+ 4840 x^{27}
+ 5280 x^{26}
+ 5631 x^{25}
+ 5875 x^{24}
+ 6000 x^{23}
+ 6000 x^{22}
+ 5875 x^{21}
+ 5631 x^{20}
+ 5280 x^{19}
+ 4840 x^{18}
+ 4335 x^{17}
+ 3795 x^{16}
+ 3246 x^{15}
+ 2710 x^{14}
+ 2205 x^{13}
+ 1745 x^{12}
+ 1340 x^{11}
+ 996 x^{10}
+ 715 x^9
+ 495 x^8
+ 330 x^7
+ 210 x^6
+ 126 x^5
+ 70 x^4
+ 35 x^3
+ 15 x^2
+ 5 x
+ 1\\\\}\)
=
\(\displaystyle{ \\\\{1 \choose 1}+
{5 \choose 1}x^{1}+
{6 \choose 2}x^{2}+
{7 \choose 3}x^{3}+
{8 \choose 4}x^{4}+
{9 \choose 4}x^{5}+
{10 \choose 4}x^{6}+
{11 \choose 4}x^{7}+
{12 \choose 4}x^{8}+
{13 \choose 4}x^{9}+
{996 \choose 1}x^{10}+
{1340 \choose 1}x^{11}+
{1745 \choose 1}x^{12}+
{2205 \choose 1}x^{13}+
{2710 \choose 1}x^{14}+
{3246 \choose 1}x^{15}+
{3795 \choose 1}x^{16}+
{4335 \choose 1}x^{17}+
{4840 \choose 1}x^{18}+
{5280 \choose 1}x^{19}+
{5631 \choose 1}x^{20}+
{5875 \choose 1}x^{21}+
{6000 \choose 1}x^{22}+
{6000 \choose 1}x^{23}+
{5875 \choose 1}x^{24}+
{5631 \choose 1}x^{25}+
{5280 \choose 1}x^{26}+
{4840 \choose 1}x^{27}+
{4335 \choose 1}x^{28}+
{3795 \choose 1}x^{29}+
{3246 \choose 1}x^{30}+
{2710 \choose 1}x^{31}+
{2205 \choose 1}x^{32}+
{1745 \choose 1}x^{33}+
{1340 \choose 1}x^{34}+
{996 \choose 1}x^{35}+
{13 \choose 4}x^{36}+
{12 \choose 4}x^{37}+
{11 \choose 4}x^{38}+
{10 \choose 4}x^{39}+
{9 \choose 4}x^{40}+
{8 \choose 4}x^{41}+
{7 \choose 3}x^{42}+
{6 \choose 2}x^{43}+
{5 \choose 1}x^{44}+
{1 \choose 1}x^{45}}\)