Strona 1 z 1

Podzielność symbolu Newtona.

: 6 lip 2011, o 13:38
autor: trzebiec
Witam, nie przerabialiśmy jeszcze rachunku prawdopodobieństwa, jednak w zadaniach powtórkowych zadanych przez nauczyciela natrafiliśmy na pewien problem. Mianowicie, jak udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ {100 \choose 4}}\) jest podzielna przez\(\displaystyle{ 7}\).

Czy poprawne jest myślenie, że \(\displaystyle{ {100 \choose 4} = \frac{100!}{96!} = \frac{96! \cdot 97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100}{96!} = 97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100 = 94109400}\)

a \(\displaystyle{ 7\left|94109400}\) ?

Proszę o pomoc.

Podzielność symbolu Newtona.

: 6 lip 2011, o 13:40
autor: piasek101
Poczytaj o symbolu Newtona - bo źle go liczysz.

A podzielność - po skróceniu szukać podzielności któregoś czynnika (czyli nie wymnażać).

Podzielność symbolu Newtona.

: 6 lip 2011, o 13:57
autor: trzebiec
ciężko mi właśnie coś z tego zrozumieć, no trudno, najwyżej ominę.

\(\displaystyle{ {100 \choose 4} = \frac{100!}{4! \cdot 96!} = \frac{96! \cdot 97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100}{96! \cdot 4!} = \frac{97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100}{24} = 3921225}\)

\(\displaystyle{ 7\left|3921225}\)

Czy teraz jest to rozwiązane dobrze?

Podzielność symbolu Newtona.

: 6 lip 2011, o 14:38
autor: xiikzodz
Dobrze, ale prościej jest zauważyć, że \(\displaystyle{ 7|98}\) więc cały ułamek \(\displaystyle{ \frac{97\cdot 98\cdot 99\cdot 100}{24}}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 7}\).

Podzielność symbolu Newtona.

: 6 lip 2011, o 14:39
autor: trzebiec
no tak, dziękuję.