Podać postać zwartą ciągu (FUN. TWORZACE)

[3squad]

Witam, jak zabierać się za takie równania?
\(\displaystyle{ \begin{cases}b _{0}=2\\ b _{1}=3 \\ b _{n}=2b _{n-1} + 3b _{n-2} \end{cases}}\)

to do czego dochodzę:

\(\displaystyle{ B(x) = 2+3x+ \sum_{ k=2 }^{ \infty }(2b _{k-1} + 3b _{k-2} )x ^{k}\\
B(x) = 2+3x+ 2x\sum_{ k=2 }^{ \infty }b _{k-1}x ^{k-1} + 3 x^{2} \sum_{ k=2 }^{ \infty }b _{k-2} x ^{k-2}}\)

[Qń]

Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ \sum_{ k=2 }^{ \infty }b _{k-2} x ^{k-2}=B(x)}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{ k=2 }^{ \infty }b _{k-1} x ^{k-1}=B(x)-b_0}\). Wyliczysz stąd postać zwartą \(\displaystyle{ B(x)}\), następnie rozłóż ją na ułamki prostej i rozwiń w szereg.

Q.

[3squad]

ok, czyli teraz robię:
\(\displaystyle{ B(x) = 2+3x+ 2xB(x) - 2x +3x ^{2} B(x)}\)
i po przekształceniach dochodzę do tego:
\(\displaystyle{ B(x) = \frac{x+2}{1-2x-3x ^{2} }}\)

Rozkładam na uł. proste tak jak mówiłeś:
\(\displaystyle{ \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x- \frac{1}{3} }}\)
Wyliczam:
\(\displaystyle{ A=- \frac{3}{4}\\B= \frac{7}{4}}\)
I dochodzę do tego:
\(\displaystyle{ \frac{-3}{4(x+1)} + \frac{7}{4(x- \frac{1}{3}) }}\)

->Rozwiń w szereg
Poproszę o jakieś rady w tym miejscu

EDIT:

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{-3}{4} }{1+x} + \frac{ \frac{7}{4} }{1-3x}}\)
Wg znalezionego schematu:
\(\displaystyle{ \frac{7}{4}*3 ^{n}-(-1) ^{n} \frac{3}{4}}\)

Tylko, że to chyba nie działa poprawnie...

Czekam na wskazówki
Z góry dziękuję

[Qń]

Sprawdź jeszcze raz:
\(\displaystyle{ B(x)=\frac{2-x}{1-2x-3x^2}}\)
(po odjęciu \(\displaystyle{ b_0}\) pojawi się \(\displaystyle{ -4x}\), a nie \(\displaystyle{ -2x}\))

Później dostaniemy
\(\displaystyle{ \frac{2-x}{1-2x-3x^2}=\frac 34 \cdot \frac{1}{1+x}+\frac 54 \cdot \frac{1}{1-3x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3\cdot (-1)^n + 5\cdot 3^n}{4}x^n}\)
skąd otrzymamy już prawidłowy wzór.

Q.