Na Wikipedii jest taki oto przykład, wykorzystania zasady szufladkowania Dirichleta:
I teraz moje pytanie. Skąd wiadomo, że różnych reszt jest co najwyżej 999?W oparciu o zasadę szufladkową uzasadnimy, że wśród kolejnych potęg liczby 7: 7, 72, 73, 74, ... istnieje taka, której zapis dziesiętny kończy się na 001.
Rozważmy mianowicie 1000 kolejnych liczb tej postaci: \(\displaystyle{ 7, 7^2, 7^3, 7^4, ..., 7^{1000}}\) i przyjrzyjmy się ich resztom z dzielenia przez 1000. Żadna z reszt nie jest równa 0 (bo żadna z wypisanych liczb nie dzieli się przez 1000). Wkładajmy do jednej szufladki dwie liczby wtedy i tylko wtedy, gdy z dzielenia przez 1000 dają tę samą resztę – ponieważ różnych reszt jest co najwyżej 999, a liczb 1000, co najmniej dwie liczby muszą znaleźć się w tej samej szufladce, co oznacza, że ich różnica jest podzielna przez 1000. Niech będą to liczby \(\displaystyle{ 7^k}\) i \(\displaystyle{ 7^l}\), gdzie k > l – ich różnica jest równa \(\displaystyle{ 7^{k} -7^{l} = 7^l(7^{k - l} - 1)}\) i dzieli się przez 1000. Liczba \(\displaystyle{ 7^l}\) oraz 1000 nie mają wspólnych dzielników (więc się nie skrócą), a zatem musi przez 1000 dzielić się liczba \(\displaystyle{ 7^{k - l} - 1}\). Oznacza to, że jej zapis dziesiętny kończy się co najmniej trzema zerami: \(\displaystyle{ 7^{k-l}-1=...000}\) , a stąd natychmiast mamy, że \(\displaystyle{ 7^{k-l}=...000+1=...001}\) .
