wybranie 101 liczb

[vilgefortz]

Dane są liczby 1,2,3...200. Wybieramy dowolnie 101 liczby spośród nich. Udowodnij, że niezależnie od wyboru zawsze wśród wybranych znajdą się co najmniej dwie takie liczby, że jedna dzieli drugą. Czy tu istotna jest cecha ile z nich jest parzystych a ile nie?

[Undre]

a w tym przedziale ile jest liczb pierwszych ?

może tu tkwi sęk ...

[vilgefortz]

liczb pierwszych jest 46, a to nic chyba nie daje.
Ja zastanawiałem się nad czymś takim: Jest jakiś powód, że liczb jest 101, a nie 100: w tym zbiorze jest 100 liczb parzystych i sto nieparzystych. W skrajnych sytuacjach mamy w wybranych 100 parzystych i jedną nieparzystą oraz 100 nieparzystych i parzystą. Tylko pytanie czy to ma jakiś sens?

[_el_doopa]

hmm
kazda liczbe przedstawiamy w postaci \(\displaystyle{ 2^k \cdot m}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest liczba nieparzysta.
wobec tego skoro istnieje tam \(\displaystyle{ 100}\) liczb nieparzystych a wybieramy \(\displaystyle{ 101}\) liczb to
dwie wybrane liczby maja rowne \(\displaystyle{ m}\).
wobec tego jedna jest postaci :
\(\displaystyle{ 2^i \cdot k}\)
a druga
\(\displaystyle{ 2^j \cdot k}\)
jesli \(\displaystyle{ i>j}\) to druga jest dzielnikiem pierwszej jesli \(\displaystyle{ j>i}\) to na odwrot.

[vilgefortz]

nie rozumiem tego zapisu jakoś prościej się nie da? W jaki sposób zapisujesz każdą liczbę jako \(\displaystyle{ 2^k \cdot m}\)? TO jest \(\displaystyle{ k \cdot m}\) w potędze czy \(\displaystyle{ 2^k}\) i jeszcze razy \(\displaystyle{ m}\)?

[ Dodano: Sro Gru 01, 2004 9:15 pm ]
a jeszcze miałem sugestię: czy to zadanie można jakoś powiązać z zasadą szufladkową?

[Poszukujaca]

Odświeżam zadanko

Czy rozwiązanie _el_doopa, jest kompletne?

Nie bardzo rozumiem.. Każdą liczbę parzystą możemy przedstawić w postaci \(\displaystyle{ 2^{k} \cdot m}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \NN, m \in \NN}\), ale nieparzystą nie, chyba że przyjmiemy, że zero należy do naturalnych.

[Jan Kraszewski]

Jest kompletne. W tym rozwiązaniu \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą nieujemną.

JK

[Poszukujaca]

Dobrze, nie rozumiem jednak dlaczego wnioskujemy, że dwie spośród \(\displaystyle{ 101}\) wybranych liczb mają równe \(\displaystyle{ m}\).

[mol_ksiazkowy]

Jesli \(\displaystyle{ 1 \leq (2l+1)2^k \leq 200}\) to \(\displaystyle{ l \in \{0,...,99 \}}\)