Kombinatoryka z funkcjami tworzącymi

[patryk007]

Na ile sposobów można wybrać 11 jabłek z koszyka, w którym jest 4 antonówki, 3 malinówki i 6 papierówek?

_____
\(\displaystyle{ F(X)=(1+x+x^2+x^3+x^4)\cdot (1+x+x^2+x^3)\cdot (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)}\)

Dalej mam napisane coś o odpowiednich współczynnikach przy \(\displaystyle{ x^n}\) i jest jakieś \(\displaystyle{ =1+...+x^{13}}\) a dalej \(\displaystyle{ 1+2+3=6}\). Nie mogę tego pojąć o co chodzi. Może ktoś pomoże?

[norwimaj]

Niech \(\displaystyle{ a_n}\) oznacza liczbę sposobów wyboru \(\displaystyle{ n}\) antonówek spośród \(\displaystyle{ 4}\) antonówek. Wtedy funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) jest \(\displaystyle{ 1+x+\ldots+x^4=\frac{x^5-1}{x-1}}\). Jeśli wybieramy \(\displaystyle{ n}\) jabłek z trzech rodzajów jabłek, to funkcja tworząca jest iloczynem trzech funkcji tworzących odpowiadających wyborom z poszczególnych rodzajów. W ostatnim nawiasie masz błąd, na końcu powinno być \(\displaystyle{ x^6}\).

Mamy więc funkcję tworzącą
\(\displaystyle{ \frac{x^5-1}{x-1}\cdot\frac{x^4-1}{x-1}\cdot\frac{x^7-1}{x-1}=
\frac{x^{16}-x^{12}-x^{11}-x^9+x^7+x^5+x^4-1}{(x-1)^3}=}\)

\(\displaystyle{ =
\frac{x^{15}+x^{14}+x^{13}+\ldots}{(x-1)^2}=
\frac{x^{14}+2x^{13}+3x^{12}+\ldots}{x-1}=
x^{13}+3x^{12}+6x^{11}+\ldots}\).

Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{11}}\) to \(\displaystyle{ 6}\) więc mamy \(\displaystyle{ 6}\) sposobów.