operatory roznicowe

[majeczka1122]

Wyznacz
\(\displaystyle{ (I+\Delta^2)^{-1}(t^2-1)}\)
Proszę o pomoc

[szw1710]

Wiedząc, że \(\displaystyle{ I}\) jest operatorem identycznościowym, a \(\displaystyle{ \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}\) (tak myślę, bo nie podajesz przyrostu, więc idziemy za ,,Matematyką konkretną'), to otrzymamy

\(\displaystyle{ \Delta^2 f(x)=\Delta\Delta f(x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x),}\)

a co za tym idzie,

\(\displaystyle{ (I+\Delta^2)f(x)=f(x)+f(x+2)-2f(x+1)+f(x)=2f(x)-2f(x+1)+f(x+2).}\)

I teraz musimy wyznaczyć taką funkcję \(\displaystyle{ f}\), że \(\displaystyle{ (I+\Delta^2)f(t)=t^2-1}\), czyli

\(\displaystyle{ 2f(t)-2f(t+1)+f(t+2)=t^2-1.}\)

Oczywiście sensownym jest założyć, że \(\displaystyle{ f}\) jest trójmianem kwadratowym. Zatem oznaczmy \(\displaystyle{ f(t)=at^2+bt+c}\). Rozpisujemy nasz operator:

\(\displaystyle{ \begin{aligned}
(I+\Delta^2)f(t)&=t^2-1\\[1ex]
2f(t)-2f(t+1)+f(t+2)&=t^2-1\\[1ex]
2at^2+2bt+2c-2\bigl(a(t^2+2t+1)+b(t+1)+c\bigr)+a(t^2+4t+4)+b(t+2)+c&=t^2-1\\[1ex]
at^2+bt+2a+c&=t^2-1
\end{aligned}}\)

Po porównaniu współczynników dochodzimy do \(\displaystyle{ a=1}\), \(\displaystyle{ b=0}\), \(\displaystyle{ c=-3}\), zatem

\(\displaystyle{ (I+\Delta^2)^{-1}(t^2-1)=t^2-3.}\)

Sprawdziłem tę równość, tzn. \(\displaystyle{ (I+\Delta^2)(t^2-3)=t^2-1}\), więc wychodzi na to, że się w rachunkach nie pomyliłem.