Wzór jawny ciągu na podstawie ciągu rekurencyjnego

[molson13]

Mam za pomocą funkcji tworzących znaleźć wzór jawny na ciąg a_n

\(\displaystyle{ a_{o} = 1}\)
\(\displaystyle{ a_{1} = 6}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = a_{n-1} + 2a_{n-2} -4n^ {2} + 22n -23}\)

Znam algorytm rozwiązywania, ale do tej pory robiłem dużo prostsze przykłady, a ten zajmuje mi już 2 strony A4 i jestem dopiero w połowie rozwiązania.
Może jest jakiś trik umożliwiający skrócenie tych obliczeń, albo chociaż jakiś program który mi policzy i będę mógł ten wynik skonfrontować ze swoim??

[Xitami]

funkcja generująca
\(\displaystyle{ \frac{-10x^4 + 6x^3 - 7x^2 + 2x + 1}{2x^5 - 5x^4 + 2x^3 + 4x^2 - 4x + 1}}\)
ciekawym, czy twoje równoważne temu
\(\displaystyle{ b_n = 4b_{n-1} -4b_{n-2} -2b_{n-3} +5b_{n-4} -2b-{n-5}}\)

[molson13]

W F(x) zgadza się tylko mianownik Ale dzięki wielkie jakoś może sobie poradzę

chociaż nie jest tak źle

uzyskałem w liczniku:

-10x^4 + 18x^3 - 7x^2 + 2x -1

poszukam może gdzieś minus mi poleciał

[Xitami]

Poprosiłem kolegę Taylora o rozwinięcie:
\(\displaystyle{ \frac{-10x^4 + 18x^3 - 7x^2 + 2x -1}{2x^5 - 5x^4 + 2x^3 + 4x^2 - 4x + 1}}\)(twój licznik, nasz mianownik)
wyjszło mu
\(\displaystyle{ -1
- 2 x
- 11 x^2
- 16 x^3
- 31 x^4
- 46 x^5
- 79 x^6
- 128 x^7
- 227 x^8
- 406 x^9
- 763 x^{10}
- 1456 x^{11}
- 2839 x^{12}
- 5582 x^{13}
- 11063 x^{14}
- 22000 x^{15}+ O(x^{16})}\)
Twoje \(\displaystyle{ a_n}\) daj mi
1, 6, 13, 32, 59, 110, 193, 348, 631, 1178, 2237, 4328, 8467, 16710, 33145, 65972, ...
pomagam sobie programem

Kod: Zaznacz cały

http://pari.math.u-bordeaux.fr/

Kod: Zaznacz cały

PARI>A(n)=if(n==0,return(1));if(n==1,return(6));return(A(n-1)+2*A(n-2)-4*n^2+22*n-23)

PARI> for(i=0,15,print1(A(i)", "))

1, 6, 13, 32, 59, 110, 193, 348, 631, 1178, 2237, 4328, 8467, 16710, 33145, 65972,

PARI> taylor((-10*x^4 + 6*x^3 - 7*x^2 + 2*x + 1)/(2*x^5 - 5*x^4 + 2*x^3 + 4*x^2 - 4*x + 1),x)

1 + 6*x + 13*x^2 + 32*x^3 + 59*x^4 + 110*x^5 + 193*x^6 + 348*x^7 + 631*x^8 + 1178*x^9 + 2237*x^10 + 4328*x^11 + 8467*x^12 + 16710*x^13 + 33145*x^14 + 65972*x^15 + O(x^16)

PARI> prtrec(vector(12,i,A(i-1)))

a(n) = +4*a(n-1) -4*a(n-2) -2*a(n-3) +5*a(n-4) -2*a(n-5)

PARI> ggf(vector(16,i,A(i-1)))

(-10*x^4 + 6*x^3 - 7*x^2 + 2*x + 1)/(2*x^5 - 5*x^4 + 2*x^3 + 4*x^2 - 4*x + 1)

prtrec oraz ggf co małe skrypty znalezione, a jakże w sieci

-- 22 maja 2011, 15:28 --

PARI> prtrec(vector(12,i,A(i-1)))
a(n) = +4*a(n-1) -4*a(n-2) -2*a(n-3) +5*a(n-4) -2*a(n-5)
PARI> t=vector(6,i,A(i-1))
[1, 6, 13, 32, 59, 110]
PARI> a(n)=if(n<6, return(t[n+1])); return(4*a(n-1) -4*a(n-2) -2*a(n-3) +5*a(n-4) -2*a(n-5))
PARI> for(i=0,100,if(A(i) != a(i), print("nie gra")))
Cóż, to że nie widzimy, że nie gra nie znaczy, że gra.
(A nie widzimy także dla tego, że liczy się to strasznie wolno, oczywiście łatwo można przyśpieszyć, ale chyba mi się nie chce)

Czy można wykazać równoważność A(n) i a(n)?
\(\displaystyle{ a_n = 4a_{n-1} -4a_{n-2} -2a_{n-3} +5a_{n-4} -2a_{n-5}\\
a_0=1,\quad a_1=6,\quad a_2=13,\quad a_3=32,\quad a_4=59,\quad a_5=110\\\\
A_n=A_{n-1}+2A_{n-2}-4n^2+22n-23\\
A_0=1,\quad A_1=6}\)