\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} = 2^{n}}\)
za pomoca reguły dodawania (indukcja). Czyli mam:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} = \sum_{k=0}^{n} {n-1\choose k} + \sum_{k=0}^{n} {n-1\choose k-1}}\)
A dalej jak mam to zrobić? Baza dla n=1 i póżniej dla n+1?
2)Potrzebuje żeby mi ktoś wyjaśnił poszczególne przejścia:
\(\displaystyle{ (-1)^{m+1} \sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n} {r\choose j}{m-rk-s-1 \choose m-j}=\\ =(-1)^{m}\sum_{k=1}^{n}\left({m-rk-s-1 \choose m}-{m-r(k-1)-s-1 \choose m}\right) =\\
=(-1)^{m}\left({m-rn-s-1\choose m}-{m-s-1 \choose m}\right)}\)
Rozumiem tyle że na początku zastosowano tożsamośc couchy'ego, i wtedy na górze będziemy mieli r(k+1), wymnożono przez (-1) więc pewnie stąd minus między dwoma dwumianami ale jak zostały wyliczone sumy? Mógłby ktoś napisać krok po kroku?
3)Wyliczyć sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{} {2a \choose a+k}{2b \choose b+k}{2c \choose c+k}(-1)^{k}}\)
Tu już nic nie potrafię wymyślić. Wiem że powinienem zamienić na silnie czyli mam:
\(\displaystyle{ \sum_{k} \frac{(2a)!}{(a+k)!(a-k)!}\frac{(2b)!}{(b+k)!(b-k)!}\frac{(2c)!}{(c+k)!(c-k)!}(-1)^{k}}\)
Ponadto wiem też że:
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{} {a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}(-1)^{k}=\\
=\sum_{k} \frac{(a+b)!}{(a+k)!(b-k)!}\frac{(b+c)!}{(b+k)!(c-k)!}\frac{(c+a)!}{(c+k)!(a-k)!}(-1)^{k}=\\
= \frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}}\)
Ale nie wiem jak to wszystko połączyć żeby dobrze wyszło
jedyne co zauważyłem to że mianownik jest taki sam w obu przypadkach ale co z licznikiem?EDIT: Pierwsze udało mi się wkońcu rozwiązać
Do tego równania co napisałem trzeba podstawić za n = n+1 i wtedy wychodzi ładnie \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\)