prosze o zrobienie i wytłumaczenie zadania
Wykazać przez indukcję ,że liczba \(\displaystyle{ 11^{n}-4^{n}}\) jest podzielna przez 7 dla wszystkich \(\displaystyle{ n \in N}\)
wykazać przez indukcję
-
pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
wykazać przez indukcję
Dla n=1 jest to prawdziwe.
Załóżmy że jest to prawdziwe dla \(\displaystyle{ n=k}\), sprawdzimy czy jest to prawdziwe dla \(\displaystyle{ n=k+1}\)
\(\displaystyle{ 11^{k+1}-4^{k+1}=11\cdot 11^k-4\cdot 4^k=(7+4)\cdot 11^k -4\cdot 4^k=\\
7\cdot 11^k +4\cdot 11^k -4\cdot 4^k=7\cdot 11^{k}+4(11^k-4^k)}\)
Wyrażenie w nawiasie jest podzielne przez 7 z założenia. mamy więc sumę wyrażeń podzielnych przez 7.
Załóżmy że jest to prawdziwe dla \(\displaystyle{ n=k}\), sprawdzimy czy jest to prawdziwe dla \(\displaystyle{ n=k+1}\)
\(\displaystyle{ 11^{k+1}-4^{k+1}=11\cdot 11^k-4\cdot 4^k=(7+4)\cdot 11^k -4\cdot 4^k=\\
7\cdot 11^k +4\cdot 11^k -4\cdot 4^k=7\cdot 11^{k}+4(11^k-4^k)}\)
Wyrażenie w nawiasie jest podzielne przez 7 z założenia. mamy więc sumę wyrażeń podzielnych przez 7.