Dwumiany i kombinatoryka.

[Pusiux]

Potrzebuje pomocy w 3 zadankach. I w miarę możliwości prosiłbym o jakieś wytłumaczenie postępowania. Liczę na was forumowicze.

a) Znajdź rozwinięcie dwumianu \(\displaystyle{ \left( \sqrt{x}- \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } \right) ^{16}}\) zawierający \(\displaystyle{ x ^{3}}\)

b) Jeśli \(\displaystyle{ {n \choose 2}- {n \choose 4}=0}\) znajdź 4 wyraz dwumianu \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3}x- \frac{1}{x} \right) ^{n}}\)


i kolejne z innej beczki.
c) Na ile sposobów można podzielić zbiór n=15 różnych elementów na 3 podzbiory o ilości elementów x=8 y=5 z=2.

edit.
jeszcze jeden dwumian

Znaleźć 4 wyraz rozwinięcia dwumianu \(\displaystyle{ \left( \sqrt{2x} - \frac{1}{x} \right) ^{n}}\) gdzie n jest roziwnięciem równania \(\displaystyle{ 4 \cdot {n \choose 2}-3 \cdot {n \choose 3}= 0}\)

[adamglos92]

a) Podpowiedź: skorzystaj z wzoru na dwumian Newtona: najpierw ustal jaki musi być n, żeby potęga x wyszła 3. n będzie numerem współczynnika, potem skorzystaj z symbolu Newtona w wiadomy sposób:)

b) Tym razem musisz rozpisać i najpierw wyznaczyć n. Rozpisz symbole na funkcje wymierne. Możesz ewentualnie przerzucić jeden symbol na drugą stronę i zastanowić się, kiedy równość będzie spełniona (popatrz na przekształcenia symboli).
4 element musisz po prostu wyliczyć z dwumianu:)

c) wynikiem jest iloczyn:
\(\displaystyle{ {15 \choose 2} \cdot {13 \choose 5} \cdot {7 \choose 7}}\)
Trzeba korzystać z symboli w tym przypadku bo tworzymy zbiory a nie ciągi (!).

d) rozpisz wyrażenie z symbolami na funkcję wymierną - tym razem nie masz innego wyjścia:). dalej tak samo jak w podpunkcie b) - wyznacz n i wylicz 4 wyraz.

Mam nadzieję że te podpowiedzi wystarczą:)

[triathlon]

Mógłby ktoś wyjaśnić konkretniej podpunkt a) ? Bo nie mogę załapać...

[adamglos92]

musisz po kolei sprawdzic ktory wyraz będzie zawierał 3 potęgę x. jak już będziesz mieć numer wyrazu (k), to korzystając z symbolu Newtona możesz wyznaczyć współczynnik.