Znaleźć jawny wzór ciągu.

[lolks123]

Jak można wyznaczyć ogólny wzór:

\(\displaystyle{ a_{n+1} = a_n \cdot (n(n+3)+3)}\)

gdzie \(\displaystyle{ a_1 = 3}\) ?

[silvaran]

\(\displaystyle{ a_{n+1} = a_n \cdot (n(n+3)+3) \\
a_{n} = a_{n-1} \cdot (n(n+3)+3)}\)

więc
\(\displaystyle{ a_{n+1} = a_{n-1} \cdot (n(n+3)+3)^2 \\
a_{n+1} = a_{n-2} \cdot (n(n+3)+3)^3}\)

Widzisz analogię?

[lolks123]

Wydaję mi się, że masz źle, moim zdaniem powinno być tak:

\(\displaystyle{ a_{n+1} = a_n \cdot (n^2+3n+3)}\)

\(\displaystyle{ a_n = a_{n-1} \cdot ((n-1)^2+3(n-1)+3) = a_{n-1} \cdot (n^2+n+1)}\)

itd..

Tutaj tak ładnie chyba nie będzie.

[Qń]

\(\displaystyle{ a_{n+1} = a_n \cdot (n(n+3)+3) \\
a_{n} = a_{n-1} \cdot (n(n+3)+3)}\)
więc
\(\displaystyle{ a_{n+1} = a_{n-1} \cdot (n(n+3)+3)^2 \\
a_{n+1} = a_{n-2} \cdot (n(n+3)+3)^3}\)

Źle. W analogiczny sposób można by "udowodnić", że \(\displaystyle{ n!=n^n}\).

Prawidłowa odpowiedź to
\(\displaystyle{ a_n= \prod_{k=0}^{n} (k(k+3)+3)}\)
Być może da to się zapisać w postaci zwartej (nie widzę jak).

Q.

[silvaran]

Taaak, faktycznie źle napisałem. Myślałem o czymś takim jak Ty napisałeś Qń'u, ale jak widać byłem zbyt zaspany. Dzięki za czujność