Mat Dyskretna - Liczby Euklidesa

[elvisrs]

Witam,

Ma ktos byc moze pomysl na policzenie sumy odwrotnosci poczatkowych n liczb Euklidesa?

Liczby Euklidesa to zdaje sie jest cos takiego:
\(\displaystyle{ e_1 = 2\\
e_2 = 3\\
e_3 = e_1 \cdot e_2 + 1\\
e_4 = e_1 \cdot e_2 \cdot e_3 + 1\\
...}\)

[inprogress]

Podbijam zadanko, czy ktoś ma pomysł na rozwiązanie?

[Qń]

Wskazówka- spróbuj wykazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{e_k}=\frac{1}{e_k-1}-\frac{1}{e_{k+1}-1}}\)

Q.

[Xitami]

podpowiedź Qnia jest prawdą dla ciągu określonego przez elvisrs, ale
liczby euklidesa to coś innego

\(\displaystyle{ e_n=1+\prod_{i=1}^{n}p_i=1+p_n\#}\)
gdzie
\(\displaystyle{ p_i}\) jest i-tą liczbą pierwszą
\(\displaystyle{ p_n\#=\prod_{i=1}^np_i}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{p_i\#+1}\approx0.513655955794996326358461}\)

[Qń]

Graham, Knuth, Patashnik w Matematyce konkretnej definiują liczby Euklidesa w sposób podany w pierwszym poście.

Q.

[Xitami]

Eric Weisstein, N. J. A. Sloane & Wiki jakaśtam mają odmienne zdanie

[Qń]

Nie, nie mają odmiennego zdania. Po prostu inaczej umówili się odnośnie nazewnictwa.

Dlatego mówienie, że "liczby Euklidesa to coś innego" nie ma sensu - liczby Euklidesa są tym czym umówimy się, że są. Jeśli na potrzeby tego zadania umówiono się, by nazywać tak akurat ten ciąg, to lokalnie, na poziomie tego zadania, nazywamy tak właśnie ten ciąg, a nie żaden inny. A jeśli autorzy gdzie indziej umówili się inaczej, to tam jest inaczej.

Innymi słowy: byty matematyczne są unikalne, nazwy są wtórne i umowne.

Q.

[Xitami]

oczywiście, ale...
elvis napisał "zdaje się", nie napisał "liczby te to:"
tylko dla temu o tym wspomniałem
(ale, papcio D.E.K. tak inaczej? aż idę pooglądać)