Witam. Jest to mój pierwszy post, więc z góry przepraszam za możliwe błędy w zapisie.
Mam do udowodnienia następującą tożsamośc:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\ \left( 2k-1\right) = {n \choose 2} + {n+1 \choose 2}}\)
Proszę o jakieś wskazówki, które naprowadziłyby mnie, bo sam nie mam żadnych ciekawych pomysłów.
tożsamośc kombinatoryczna - dowód
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
tożsamośc kombinatoryczna - dowód
Lewa strona jest sumą \(\displaystyle{ n}\) kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego. Wartość prawej strony oblicz osobno, z definicji symbolu Newtona. Wykaż, że zachodzi równość.
tożsamośc kombinatoryczna - dowód
Tak, nie wyraziłem się dosyć jasno, miałem na myśli oczywiście interpretację kombinatoryczną.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
tożsamośc kombinatoryczna - dowód
Po obu stronach mamy liczbę wyborów dwóch liczb jednakowej parzystości ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,\ldots, 2n+1\}}\).
Prawa strona jest oczywista, a lewa:
Takich dwójek, że większa liczba należy do zbioru \(\displaystyle{ \{2n,2n+1\}}\) jest \(\displaystyle{ 2n-1}\); takich, że większa liczba należy do zbioru \(\displaystyle{ \{2n-2,2n-1\}}\) jest \(\displaystyle{ 2n-3}\), itd.; takich, że większa liczba należy do zbioru \(\displaystyle{ \{2,3\}}\) jest tylko jedna.
Q.
Prawa strona jest oczywista, a lewa:
Takich dwójek, że większa liczba należy do zbioru \(\displaystyle{ \{2n,2n+1\}}\) jest \(\displaystyle{ 2n-1}\); takich, że większa liczba należy do zbioru \(\displaystyle{ \{2n-2,2n-1\}}\) jest \(\displaystyle{ 2n-3}\), itd.; takich, że większa liczba należy do zbioru \(\displaystyle{ \{2,3\}}\) jest tylko jedna.
Q.