KOmbinatoryka zasada szufladkowa dirichleta

[Wisienkaaa]

1) Czy istnieją takie dwie różne liczby naturalne k,l, że ostatnie 2010 cyfr dziesiętnych liczb \(\displaystyle{ 17^k}\) i \(\displaystyle{ 17^l}\) są takie same?

2) Mistrz szachowy ma 77 dni na przygotowania do meczu o mistrzostwo świata. W tym czasie rozgrywa co najmniej jedna partię dziennie, w sumie jednak nie więcej niż 132 partie. Dowieść, że istnieje ciąg kolejnych dni w czasie których rozegrał dokładnie 21 partii.

[justynian]

2) niech \(\displaystyle{ x_i}\) oznacza liczbe rozegranych partii po i dniach. mamy:
\(\displaystyle{ 1\le x_1<x_2<...<x_{77} \le 132}\) dodajmy 21 mamy wówczas \(\displaystyle{ 22 \le x_1 + 21<...<x_{77}+21 \le 153}\) liczby \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_{77}}\) są różne między sobą tak jak \(\displaystyle{ x_1+21,x_2+21,...,x_{77}+21}\) a jako że między 1 a 153 mamy 154 liczby to co najmniej któreś 2 muszą być sobie równe. Niech będą to \(\displaystyle{ x_i}\)oraz \(\displaystyle{ x_j+21}\) wówczas oczywiście: \(\displaystyle{ x_i-x_j=21}\) c. n. d.

[Crizz]

Pierwsze jest oczywiste, mamy nieskończenie wiele liczb i skończenie wiele możliwych "zakończeń" tych liczb - "zakończenia" muszą się zatem powtarzać (wystarczy rozważyć tyle liczb postaci \(\displaystyle{ 17^k}\), ile jest możliwych "zakończeń" plus jeden).

[Wisienkaaa]

\(\displaystyle{ 1\le x_1<x_2<...<x_{77} \le 132}\)
za bardzo nie wiem skąd to się wzięło, ponieważ tam nic nie jest powiedziane że każdego dnia rozgrywał coraz więcej partii, czy możesz mi to wytłumaczyć?

[justynian]

2) Mistrz szachowy ma 77 dni na przygotowania do meczu o mistrzostwo świata. W tym czasie rozgrywa co najmniej jedna partię dziennie, w sumie jednak nie więcej niż 132 partie. Dowieść, że istnieje ciąg kolejnych dni w czasie których rozegrał dokładnie 21 partii.

Co znaczy że każdego dnia miał rozegrane o co najmniej jedną partię więcej niż poprzedniego.