Równanie rekurencyjne niejednorodne

[Tomo_2]

Cześć!

Mam problem ze zrozumieniem metody, a konkretnie to zupełny brak pojęcia jak policzyć rozwiązanie równania niejednorodnego.

Mam taki wzór \(\displaystyle{ x_{n}= x_{n-1} + n^{3} , x_{0}=0}\)
Wyliczyłem, że: \(\displaystyle{ x^{j}_{n} = A* 1^{n}}\)
A wychodzi 0. No i teraz zabieram się za rozwiązanie szczególne:
\(\displaystyle{ x^{s}_{n} = ?}\)
No i właśnie w tym miejscu nie wiem jak mam działać tzn. wyczytałem że jeśli \(\displaystyle{ b = P_{k}(n)*c^{n}}\) to \(\displaystyle{ x^{s}_{n}=Q_{k}(n) * c^{n}*n^{l}}\) gdzie k to stopień wielomianu. Nie wiem co to jest to l. b w powyższym przykładzie to to \(\displaystyle{ n^{3}}\).
Na podstawie tego uznałem, że \(\displaystyle{ x^{s}_{n}=A*n^{3}+B*n^{2}+c*n+d}\) Po podstawieniu \(\displaystyle{ x_{0}=0}\) znika mi d, ale co z resztą? Być może w ogóle robię to źle;/
Mógłby ktoś coś podpowiedzieć?-- 19 kwietnia 2011, 22:21 --Po znalezieniu kilku wskazówek (szkoda, że pomocy nie udzielono mi tutaj - oszczędził bym sobie czasu i nerwów, ale nvmind:P) doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ x^{s} _{n}=n(an^{3} + bn^{2} + cn + d)}\)

Po podstawieniu do równania rekurencyjnego wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ 4an^{3} + n^{2}(6a + 3b) + n(4a + 2b + 2c) + a + c + d = n^{3}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4a = 1 \\ 6a + 3b = 0 \\ 4a + 2b + 2c = 0 \\ a + c + d = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{4} \\ b = -\frac{1}{2} \\ c = 0 \\ d = -\frac{1}{4} \end{cases}}\)

Po podstawieniu do \(\displaystyle{ x_{n} = x^{j} _{n} + x ^{s} _{n}}\) podstawiam za a0 i jawny wyraz ciągu to:
\(\displaystyle{ x_{n} = \frac{1}{4}n^{3} - \frac{1}{2}n^{2}}\)

Mógłby ktoś sprawdzić czy policzyłem to dobrze?

[justynian]

Rozwiązanie jest źle ... sprawdź choćby dla n = 3. Moim zdaniem twierdzenia na które tu próbowałeś się powołać o przestrzeni rozwiązań szczególnych i stowarzyszonego równania jednorodnego to kruszenie kopi na niczym w zasadzie. Zauważ że twój n-ty wyraz postaci \(\displaystyle{ x_n=x_{n-1}+n^3}\) to po prostu suma częściowa (do n) szeregu składającego się z sześcianów kolejnych liczb naturalnych (można to formalnie pokazać indukcyjnie). Mamy zatem \(\displaystyle{ x_n=n^3+(n-1)^3+...+1^3= (\frac{n(n+1)}{2})^2}\) i to jest wzór jawny.