Ile jest liczb?

[MrVonzky]

Ile jest liczb dziewięciocyfrowych, w których suma każdych trzech kolejnych cyfr jest równa 10?

9*10=90?

[math questions]

oj coś za mało tych liczb

[MrVonzky]

no ale... pierwszą możemy wybrać na 9 sposobów, drugą na 10 a trzecią już nie, będzie ona wyznaczona, konkretna i dalej również... jakieś pomysły ?

[kristoffwp]

Tak na oko od razu wiadomo, że jeżeli oznaczymy sobie te cyfry:
\(\displaystyle{ a_{1}, a_{2},a_{3},a_{4}....}\)To zapisując odpowiednie równania przekonamy się, że na przykład \(\displaystyle{ a_{1}=a_{4}, a_{2}=a_{5}}\)itp. Da się do sprawy podejść niekoniecznie "kombinatorycznie".

[MrVonzky]

to zauważyłem, ale jak to zapisać...

[kristoffwp]

Wiesz, zadanie sprowadza się do znalezienia liczb typu \(\displaystyle{ \overline{abcabcabc}}\) gdzie
\(\displaystyle{ a+b+c=10}\). Chyba. Tak na szybko.

[MrVonzky]

\(\displaystyle{ (9*10)^3}\) ?

-- 16 kwi 2011, o 22:18 --

czyli a mogę wybrać na 9 sposobów, b na 10 a c na 1.-- 16 kwi 2011, o 22:24 --dobrze?

[norwimaj]

To może ja się wtrącę. Jak już zauważyliście, równie dobrze można rozważać liczby trzycyfrowe zamiast dziewięciocyfrowych, bo dalej i tak się powtarza. Pierwsza cyfra to co najmniej \(\displaystyle{ 1}\). Każdej takiej trzycyfrowej liczbie przyporządkujemy pewien ciąg jedynek i znaków \(\displaystyle{ |}\). Na przykład liczbie \(\displaystyle{ 244}\) przyporządkowujemy ciąg:

\(\displaystyle{ 1,1,|,1,1,1,1,|,1,1,1,1}\)

To chyba wystarczająca podpowiedź. Uważajcie tylko na cyfrę \(\displaystyle{ 10}\), bo jej tu nie powinno być.

[kristoffwp]

Tak sobie myślę nad tym zadaniem...
Po pierwsze to podejście z jedynkami średnio do mnie przemawia.
Nie wiem, w czym miałoby to pomóc?
Przecież to jest proste.
Liczbę \(\displaystyle{ a}\) wybiorę na 9 sposobów, a liczbę \(\displaystyle{ b}\) na 10. \(\displaystyle{ c}\) jest w tym momencie zdeterminowana. Czyli tak, jak twierdzi MrVonzky, liczb o podanej w zadaniu własności jest 90.

[Inkwizytor]

Czyli wg. tego rozumowania każdej z 9 cyfr na pierwszej pozycji moge przypisać 10 cyfr na drugiej pozycji?? TAK?

Przeczytajcie uważnie wpis norwimaj mądre rzeczy prawi

\(\displaystyle{ {9 \choose 2}}\) jest odpowiedzią

[kristoffwp]

Czyli wg. tego rozumowania każdej z 9 cyfr na pierwszej pozycji moge przypisać 10 cyfr na drugiej pozycji?? TAK?

Przeczytajcie uważnie wpis norwimaj mądre rzeczy prawi

\(\displaystyle{ {9 \choose 2}}\) jest odpowiedzią

OK. Jestem głupi. Oczywiście macie rację.
Będzie tak:
\(\displaystyle{ 9+8+...+2+1= \frac{9 \cdot 10}{2}=45}\)-- 17 kwi 2011, o 08:40 --Źle, czekajcie:)

[Inkwizytor]

Autopoprawka: Rozwiązanie \(\displaystyle{ {9 \choose 2} =36}\) nie uwzględnia użycia cyfry "zero" stąd trzeba dodać 18 przypadków* czyli jest 54 możliwości


*) np.: dla 8 _ _ mamy 802 lub 820

[kristoffwp]

OK. Czyli tak. Jeżeli na 1 miejscu stoi cyfra 1, to na drugim mogę wybrać cyfrę na 10 sposobów. Jeżeli 2, to na 9, jeżeli 3, to na 8 itd. Dobrze myślę? Wychodzi, że wynik to:
\(\displaystyle{ 10+9+8+...+3+2= \frac{12\cdot 9}{2}=54}\).
\(\displaystyle{ {9 \choose 2}=36}\). Coś tu nie gra.-- 17 kwi 2011, o 08:51 --A, dobra, już się nam zgadza.

[norwimaj]

Moje rozumowanie było takie. Na początku w ciągu musi być jedynka a nie \(\displaystyle{ |}\), bo pierwsza cyfra jest co najmniej \(\displaystyle{ 1}\). Dalej mamy \(\displaystyle{ 11}\) symboli, tzn \(\displaystyle{ 9}\) jedynek i dwie kreski. Na kreski musimy wybrać dwa miejsca spośród \(\displaystyle{ 11}\), czyli \(\displaystyle{ {11\choose2}}\). Wśród tych możliwości jest jednak jeden przypadek niepoprawny, gdy obie kreski stoją na samym końcu. Wtedy pierwszą cyfrą byłoby \(\displaystyle{ 10}\). Zatem wynik to

\(\displaystyle{ {11\choose2}-1=54}\)

Wasze rozwiązania też ładne.