Wykaż, że... i wzór Newtona, silnie. Problem

[ginga]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ k \in N}\) i \(\displaystyle{ n \in N}\) i \(\displaystyle{ k<n}\),to \(\displaystyle{ {n\choose k}+{n\choose k+1}= {n+1\choose k+1}}\).
Proszę o pomoc. Wiem, jak należy rozpisać wzór Newtona. Udało mi się rozpisać obie strony. Wiem, że trzeba np. z prawej dojść do lewej. Ale nie bardzo wiem, jak to wszystko poskracać, uprościć. Z góry dzięki za jakieś wskazówki i/lub rozwiązania.

[Nakahed90]

Wyjdź z lewej strony i wyciągnij przed nawias \(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k-1)!}}\)

[tometomek91]

Albo kombinatorycznie:
Prawa strona to ilość mozliwych wyborów \(\displaystyle{ (k+1)}\)-elementowego zbioru ze zbioru \(\displaystyle{ (n+1)}\)-elementowego. W tym ostatnim wyróżnijmy jeden element. Chcąc wybrać ten \(\displaystyle{ (k+1)}\)-elementowy podzbiór ze zbioru \(\displaystyle{ (n+1)}\)-elementowego z wyróżnionym elementem, mozemy albo wybrać wyróżniony element, a pozostałe \(\displaystyle{ k}\) elementów z już \(\displaystyle{ n}\)-elementowego zbioru na \(\displaystyle{ {n\choose k}}\) sposobów, albo nie wybieramy wyróżnionego elementu, a więc wybieramy na\(\displaystyle{ {n\choose k+1}}\) sposobów. Dodając te możliwości mamy prawą stronę.

[ginga]

Dziękuję Wam bardzo za cenne wskazówki. Udało mi się to wykazać.
Pozdrawiam